什麼是有理表達式——以及它在哪裡失效

由多項式搭成的分數

有理表達式是一個分數，它的分子和分母都是多項式。例如 (x+2)/(x−3)、(x^2−1)/(x^2+5x+6)，甚至 7/x。rational（有理）一詞來自 ratio（比）：它是一個多項式除以另一個多項式，正如有理數是一個整數除以另一個整數。

你對普通分數已經知道的一切仍然適用。分數線表示除法。你可以約分、相乘、相加等等。唯一真正新增的麻煩是：分母不再是一個固定的數——它會隨著變量的變化而變化，有時會恰好落在零上。

除以零是唯一要緊的規則

除以零沒有意義，所以任何使分母為零的輸入都是一個排除值：表達式在那裡根本不存在。找出它們是機械化的——令分母等於零並求解。

Find the excluded values of  (x + 2) / (x^2 + 5x + 6)

Set the denominator to zero:
  x^2 + 5x + 6 = 0
  (x + 2)(x + 3) = 0
  x = -2  or  x = -3

Excluded values:  x ≠ -2  and  x ≠ -3
The expression is defined for every other real number.

把分母因式分解，令每個因式為零——這些輸入都被禁止。

排除值與定義域

這份禁止輸入的清單正是一種定義域限制。當你把表達式看作一個有理函數 f(x) 時，它的定義域是除那些排除值之外的所有實數。所以同一個事實有兩個名字：表達式的排除值就是函數定義域上的一個缺口。

只看分母；分子永遠不會導致排除。
令分母等於零，並把那個方程完整解出來。
你找到的每個解都是一個排除值；每個都寫成 x ≠ 那個數。
把定義域寫成：除那些值以外的所有實數。