為何有理數是困難的
在 ℂ 上秩可分類；在 ℝ 上秩加 符號差 可分類。在 ℚ 上二者都不夠，因為平方類 ℚ*/(ℚ*)² 構成無限群：1, −1, 2, −2, 3, … 及所有乘積彼此不等價。有理形式 ⟨1, 1⟩（即 x² + y²）是否等價於 ⟨2, 2⟩？它們有相同的秩與相同的實符號差 (2, 0)，但判別式分析有別——你需要更細的不變量。天才的想法是不直接研究 ℚ，而是同時透過它的所有 完備化 來研究。
ℚ 的完備化是 ℝ（「無窮遠位」）以及 p-進體 ℚ_p，每個質數 p 對應一個。在每個 ℚ_p 上有一個齊整的局部不變量，即 [[hasse-invariant|Hasse 不變量]] ε_p(q) ∈ {±1}，由對角元的 Hilbert 符號構成。它連同秩、ℚ*/(ℚ*)² 中的判別式、以及實符號差，構成一份完整的不變量清單——只要你知道把它們聯繫起來的法則。
Witt 環：作為環的形式
固定體 K（char ≠ 2），同時考察所有非退化二次型。正交和 ⊥ 把它們相加，張量積 ⊗ 把它們相乘，故等距類幾乎構成一個環——只是 ⊥ 沒有逆元。兩步修補，正如 ℤ 由 ℕ 構造而來。先作 Grothendieck 式群完備化（一個 Grothendieck 群）以引入減法。再宣布 雙曲平面 ℍ 為零。所得商即 [[witt-ring|Witt 環]] W(K)：其元素是非迷向形式（第 4 篇的 q_an 核），因為每個雙曲直和項都已被殺死。
為何殺死 ℍ 是正確之舉？由 Witt 消去，兩個形式在添加雙曲平面後相等，當且僅當它們的非迷向核一致——故「在 W(K) 中相等」意味著「非迷向部分相同」，這正是我們想要的分類。⟨a⟩ 在 W(K) 中的類記作 ⟪a⟫；加法為 ⟪a⟫ + ⟪b⟫ = ⟨a, b⟩ 的類，乘法為 ⟪a⟫·⟪b⟫ = ⟪ab⟫。單位元是 ⟨1⟩，且 ⟪a⟫ + ⟪−a⟫ = 0，因為 ⟨a, −a⟩ ≅ ℍ。
Three Witt rings, computed.
W(C): over an algebraically closed field every form is <1,...,1>,
and <1,1> = H = 0. So the only anisotropic forms are 0 and <1>.
W(C) = Z/2Z. (rank mod 2 is the whole story.)
W(R): the anisotropic forms are <1,...,1> and <-1,...,-1>; the invariant
that survives is the SIGNATURE p - m, which is additive on (+)
and multiplicative on (x).
W(R) = Z, via q |-> signature(q).
W(F_q), q odd: square classes F_q*/(F_q*)^2 has order 2, pick a nonsquare s.
Anisotropic forms have dimension <= 2; one finds
W(F_q) = Z/2Z[s]/(s^2 - 1)-type ring of order 4:
= Z/4Z if q = 3 (mod 4),
= Z/2Z[t]/(t^2) if q = 1 (mod 4).
Sanity check in W(R): <1,1,1> + <-1,-1> has signature 3 + (-2) = 1 = <1>.
Indeed <1,1,1,-1,-1> = <1> (+) 2H, and 2H = 0. Consistent.Witt 環組織了什麼
我們收集的不變量恰是 W(K) 上的環同態（或濾過數據）。秩 mod 2 是同態 W(K) → ℤ/2ℤ；其核是 基本理想 I。判別式活在 I/I² 上，Hasse 不變量 在 I²/I³ 上，實符號差在 K 的每個序上給出 W(K) → ℤ，如此等等。深刻的 Milnor 猜想（今已成定理）把分級部分 Iⁿ/Iⁿ⁺¹ 與 Galois 上同調等同起來——把二次型連回第一卷的 Galois 機器。第 1 篇裡平方的小小算術，已長成連接代數、數論與拓撲的橋樑。