迷向向量、雙曲平面與 Witt 定理

長度為零的向量

在歐氏點積中，q(v) = 0 迫使 v = 0——這正是 正定性 的含義。但對一般形式，可以有非零向量滿足 q(v) = 0；這樣的 v 稱為 [[isotropic-vector|迷向]] 向量，含有這種向量的形式稱為迷向的（否則稱為非迷向 / 定型）。在實形式 q(x, y) = x² − y² 上，向量 (1, 1) 與 (1, −1) 是迷向的——它們落在「光錐」上。迷向性正是阻礙形式表現得像一個誠實的長度概念的障礙。

雙曲平面：通用的迷向部件

設非退化形式有一個迷向向量 u，q(u) = 0。非退化性給出某個 w 使 B(u, w) ≠ 0；縮放使 B(u, w) = 1，再用 u 的倍數調整 w 使 q(w) = 0。u, w 的張成是一個 2 維 非退化 子空間，Gram 矩陣為 [0, 1; 1, 0]——即 [[hyperbolic-plane|雙曲平面]] ℍ。在等價的對角形式下它是 ⟨1, −1⟩，因為 x² − y² = (x + y)(x − y)，而代換 u = x + y, w = x − y 把一個化為另一個。雙曲平面是迷向性的原子。

Splitting off a hyperbolic plane.

Claim: if a nondegenerate form q contains an isotropic vector,
it decomposes as q = H (+) q', where H is the hyperbolic plane.

Build a hyperbolic pair (u, w):
  q(u) = 0,  B(u, w) = 1,  q(w) = 0.
  Gram matrix of span(u, w) = [0, 1; 1, 0],  det = -1 != 0  (nondegenerate).

Orthogonal complement splits off:
  V = span(u, w)  (+)  span(u, w)^perp,
with the form restricting nondegenerately to each summand. So

  q  =  H  (+)  q'      with   dim q' = n - 2.

As diagonal forms:  H = <1, -1>, hence over R every form is
  q = (p - m copies of the SIGN it favors) plus (min(p,m) copies of H),
i.e.   <1,...,1, -1,...,-1>  =  k*H  (+)  <eps,...,eps>,
with k = min(p, m) hyperbolic planes and |p - m| leftover same-sign axes.

迭代給出 Witt 分解：每個非退化形式分裂為 直和 q ≅ k·ℍ ⊥ q_an，其中 ℍ 是雙曲平面，q_an 非迷向（無迷向向量）。整數 k 是 *Witt 指數*；非迷向部分 q_an 是資訊的不可約內核。在 ℝ 上這只是重述 Sylvester：k = min(p, m) 個雙曲平面，q_an 為 ⟨1, …, 1⟩ 或 ⟨−1, …, −1⟩，大小 |p − m|，承載殘存的符號差。該分解的威力在於它對 *任何* 體都成立。

Witt 定理與正交群

兩個深刻結果使該分解成為典範。[[witt-theorem|Witt 延拓定理]]：(V, q) 的兩個子空間之間的任何等距都可延拓為整個 V 的等距。Witt 消去定理：若 q₁ ⊥ q ≅ q₂ ⊥ q，則 q₁ ≅ q₂——可以消去公共的直和項。消去定理使 Witt 指數 k 與非迷向核 q_an 成為形式的 *不變量*，而非所選分裂的副產物。其證明（藉助延拓）歸結為每次消去一個雙曲平面或一條非迷向線。