透過配方對角化
第一個結構定理：在任何特徵 ≠ 2 的體上，每個對稱雙線性型都有 正交基——使 Gram 矩陣 成對角形的基。等價地，每個對稱矩陣都 合同 於一個對角矩陣，每個二次型都等價於某個 ⟨d₁, …, dₙ⟩。證明不過是 配方，用你中學就會的演算法，只是現在跑在一般體上。
- 若某個對角元 q(eᵢ) = B(eᵢ, eᵢ) 非零，重排使其為第一個變量 x₁；用它作主元。
- 把含 x₁ 的所有項收攏並配方：a₁(x₁ + …)²，其中「…」是 x₂, …, xₙ 的線性組合。代入 y₁ = x₁ + …，消去所有與 x₁ 的交叉項。
- 剩下的是僅含 x₂, …, xₙ 的二次型；對它遞迴。
- 邊界情形：若所有對角元為 0 但某個 B(eᵢ, eⱼ) ≠ 0，先代入 xᵢ ↦ xᵢ + xⱼ製造一個非零平方（這需要 char ≠ 2），再繼續。
Diagonalize q(x1, x2, x3) = x1^2 + 2 x1 x2 + 2 x2 x3 over Q.
Pivot on x1: x1^2 + 2 x1 x2 = (x1 + x2)^2 - x2^2.
Set y1 = x1 + x2. q = y1^2 - x2^2 + 2 x2 x3.
Now handle the rest: -x2^2 + 2 x2 x3 = -(x2^2 - 2 x2 x3)
= -(x2 - x3)^2 + x3^2.
Set y2 = x2 - x3, y3 = x3.
q = y1^2 - y2^2 + y3^2. Diagonal form <1, -1, 1>.
Rank = 3 (three nonzero entries), so q is nondegenerate.
Over R: one minus sign, two plus signs -> signature (2, 1), s = 2 - 1 = 1.
The change of variables is invertible, so this is a CONGRUENCE,
not an orthonormal (eigenvalue) diagonalization -- no square roots needed.秩：與體無關的不變量
一旦對角化為 ⟨d₁, …, dₙ⟩，非零 dᵢ 的個數就是形式的 秩——即其 Gram 矩陣的秩，合同無法改變它，因為 P 可逆。形式 非退化 恰當秩等於 dim V，即所有 dᵢ ≠ 0。秩是 *唯一* 在每個體上都奏效的不變量：在像 ℂ 這樣的 代數閉體 上它是 *僅有的* 不變量，因為那裡每個非零 dᵢ 經 1/(√dᵢ)² 縮放後都變成 1——故在 ℂ 上形式完全由其秩決定，且 ⟨d₁, …, dᵣ, 0, …⟩ ≅ ⟨1, …, 1, 0, …⟩。
Sylvester 慣性定律
在 ℝ 上我們可把每個非零 dᵢ 縮放為 ±1（除以 (√|dᵢ|)²），故每個實形式都合同於 ⟨1, …, 1, −1, …, −1, 0, …, 0⟩，含 p 個 1、m 個 −1、z 個 0。對角化極不唯一，但 [[sylvester-law-of-inertia|Sylvester 慣性定律]] 說三元組 (p, m, z) 是唯一的：同一實形式的任意兩個對角化，其正、負、零元的個數都相同。數對 (p, m) 稱為 [[signature-of-a-form|符號差]]；常以單個數 s = p − m 報告。
p 唯一性的乾淨證明：它等於 q 在其上 嚴格正 的子空間的最大維數。若 U 是 q > 0 的子空間（維數 p，由「+」基向量張成），W 是 q ≤ 0 的子空間（維數 m + z，其餘部分），則 U ∩ W = {0}，因為同時屬於兩者的向量將使 q 既 > 0 又 ≤ 0。故 dim U + dim W ≤ n，迫使 p 取到最大且與基無關。同樣的論證鎖定 m。這個維數刻畫是 *內蘊的*——不提及任何基——這正是為何計數不能依賴所選的對角化。