二次型與極化

對稱型的對角線

給定對稱雙線性型 B，定義其二次型為 q(v) = B(v, v)。在 Gram 矩陣為 A 的座標下即 q(x) = xᵀ A x = Σᵢ aᵢᵢ xᵢ² + 2 Σ_{i<j} aᵢⱼ xᵢ xⱼ——一個二次齊次多項式。反之，任何二次齊次多項式 q(x₁, …, xₙ) 都是唯一一個對稱矩陣的二次型：取 aᵢᵢ = (xᵢ² 的係數)，aᵢⱼ = aⱼᵢ = ½(xᵢxⱼ 的係數)。那個 ½ 正是為何特徵 2 需要特別小心。

抽象地說，函數 q : V → K 配稱為 二次型，當 (i) 對所有純量 λ 有 q(λv) = λ² q(v)，且 (ii) 映射 B_q(u, w) := q(u + w) − q(u) − q(w) 是雙線性的。此時 B_q 自動對稱，它是 q 的 *配極雙線性型*。條件 (i) 是使「二次」名副其實的齊次性：輸入乘以 λ，輸出乘以 λ²。

極化：從 q 還原 B

只知道 q 在對角線上的值，看似比處處知道 B 的資訊更少。極化恆等式說明，在特徵不為 2 時，二者恰是同樣多的資訊。展開 q(u + w) = B(u + w, u + w) = q(u) + 2B(u, w) + q(w)。解出交叉項：B(u, w) = ½ [q(u + w) − q(u) − q(w)]。所以 B 與 q 相互決定，只要 2 在 K 中可逆，我們便可把「二次型」與「對稱雙線性型」互換使用。

Polarization, worked on R^2.

Form:  q(x1, x2) = 3*x1^2 + 4*x1*x2 + x2^2.

Gram matrix (halve the off-diagonal coefficient):
  A = [3, 2; 2, 1].   Check: x^T A x = 3 x1^2 + 4 x1 x2 + x2^2.  Good.

Recover B by polarization with u = (1,0), w = (0,1):
  q(u)     = q(1,0) = 3
  q(w)     = q(0,1) = 1
  q(u + w) = q(1,1) = 3 + 4 + 1 = 8
  B(u, w)  = (1/2)(8 - 3 - 1) = 2     = A[1,2].  Consistent.

Why char 2 breaks: there 1/2 does not exist, and over F_2
  x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 has associated B = 0 (it is ALTERNATING),
so q carries strictly more information than its B. Quadratic forms
and symmetric bilinear forms part ways in characteristic 2.

極化把 A 的每個非對角元素還原為 B(eᵢ, eⱼ)；在沒有 ½ 的特徵 2 中它失效。

二次型的等價

V 上的兩個二次型 q, q' 等價（或等距），若存在可逆線性變量替換把一個變成另一個——恰當它們的矩陣合同。對角型 a₁x₁² + ⋯ + aₙxₙ² 簡記為 ⟨a₁, …, aₙ⟩。縮放變量 xᵢ ↦ c xᵢ 把第 i 個係數乘以 c²，故在任何體上對角元僅在差一個非零平方的意義下重要：⟨a⟩ ≅ ⟨ac²⟩。這種平方類記帳正是第 4、5 篇一切內容的種子。