進兩個向量，出一個標量
設 V 是體 K 上的有限維 向量空間。一個 雙線性型 是映射 B : V × V → K，對每個變量分別線性：B(au + a'u', w) = a·B(u, w) + a'·B(u', w)，右邊亦然。它是一種特殊的 雙線性映射——陪域恰是基域本身。ℝⁿ 上的點積是原型：B(x, y) = x₁y₁ + ⋯ + xₙyₙ。但還有許多別的，而本主線的全部目的就是把它們分類。
取 V 的一組基 e₁, …, eₙ。由於 B 雙線性，它完全由這 n² 個數 aᵢⱼ = B(eᵢ, eⱼ) 決定。把它們排成矩陣 A = (aᵢⱼ)，即 B 在此基下的 Gram 矩陣。於是對座標列向量 x, y，有 B(x, y) = xᵀ A y。固定基後，形式與矩陣可以互換——但矩陣依賴於基，而這種依賴正是故事的核心。
對稱性與它的反對稱夥伴
若對所有 u, w 有 B(u, w) = B(w, u)，則形式 對稱——等價地，其 Gram 矩陣滿足 Aᵀ = A。若對所有 v 有 B(v, v) = 0，則形式 交錯，這迫使 B(u, w) = −B(w, u)。在特徵不為 2 時，每個形式唯一地分裂為對稱加交錯：B = ½(B + Bᵀ) + ½(B − Bᵀ)。本主線講 對稱 的那一半；交錯的一半屬於 交錯型 與辛幾何的世界。對稱是平方與符號差棲身之處。
現在是關鍵一步：換基時 Gram 矩陣如何變化？若新基為 e'ⱼ = Σᵢ Pᵢⱼ eᵢ，其中 P 是（可逆的）換基矩陣，則新舊座標滿足 x = P x'。代入 B(x, y) = xᵀ A y 得 B = (Px')ᵀ A (Py') = x'ᵀ (Pᵀ A P) y'。故新 Gram 矩陣為 A' = Pᵀ A P——而非 P⁻¹ A P。這是 *合同*，不是相似。
Same form, two bases, two Gram matrices.
Let B(x, y) = x1*y1 + x1*y2 + x2*y1 + 2*x2*y2 on R^2.
In the standard basis its Gram matrix is
A = [1, 1; 1, 2] (symmetric: A^T = A)
Change basis with P = [1, -1; 0, 1] (so e1' = e1, e2' = -e1 + e2).
Congruence:
A' = P^T A P
= [1, 0; -1, 1] [1, 1; 1, 2] [1, -1; 0, 1]
= [1, 0; -1, 1] [1, 0; 1, 1]
= [1, 0; 0, 1]
The SAME form is now the plain dot product. We "completed the square":
B = (x1 + x2)^2 + x2^2 in the new coordinates.
Note det A = 1 and det A' = 1: congruence multiplies det by (det P)^2 = 1.
Similarity P^{-1} A P would have given [3, 1; -2, 0] -- NOT symmetric.合同是我們關心的等價關係
若 A' = PᵀAP 對某可逆 P 成立，則兩個對稱矩陣 A 與 A' 合同。這恰是「同一形式、不同基」的關係。所以將對稱雙線性型按換基分類，就是將對稱矩陣按合同分類。注意合同不改變秩（P 可逆），並把行列式乘以非零平方 (det P)²。在實數上它還不能改變行列式的正負號——這是第 3 篇中等待登場的 符號差 的第一個暗示。