用因式分解與平方根法求解

零積性質

讓因式分解奏效的關鍵事實只有一條：如果兩個量的乘積等於零，那麼其中至少有一個為零。這就是[[zero-product-property|零積性質]]，而且右邊必須是零才行——這正是我們堅持先化成標準形式的原因。一旦二次式寫成 (某式)·(某式) = 0，每個因式就給出各自的簡單方程式。

把二次方程式寫成標準形式，使一邊為 0。
把左邊因式分解成兩個一次因式的乘積。
令每個因式等於 0，解出這些小一次方程式。
每個根都是曲線與 x 軸相交的值——代入驗證。

Solve  x^2 - 5x + 6 = 0  by factoring.

  Need two numbers multiplying to +6, adding to -5:
  those are -2 and -3.

    x^2 - 5x + 6 = 0
    (x - 2)(x - 3) = 0

  Zero-product property:
    x - 2 = 0   or   x - 3 = 0
    x = 2       or   x = 3

  Check x = 2:  4 - 10 + 6 = 0  ✓
  Check x = 3:  9 - 15 + 6 = 0  ✓

兩個因式，兩個根——令每個因式為零。

當沒有一次項時：平方根法

如果二次方程式沒有 x 項——只有 x^2 和一個常數——你根本不需要因式分解。把平方項孤立出來，再對兩邊開平方。這就是[[square-root-property|平方根法]]，其關鍵細節是正負號：若 x^2 = 9，則 x 可能是 +3 或 -3，因為兩者的平方都是 9。漏掉負根是這裡最常見的錯誤。

Square-root property:  if  u^2 = k (k ≥ 0),  then  u = ±sqrt(k).

Solve  2(x - 1)^2 - 18 = 0:

    2(x - 1)^2 = 18
      (x - 1)^2 = 9
       x - 1 = ±3        (take the square root, keep ±)
       x - 1 = 3   or   x - 1 = -3
       x = 4       or   x = -2

先孤立平方項，再開平方——絕不要漏掉 ±。