特殊乘積 — JOVANA Education

二項式的平方

特殊乘積是值得記住的 FOIL 結果。第一個是二項式的平方：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。用 FOIL 展開一次就明白原因——外項和內項都是 ab，所以加倍。中間項是兩部分乘積的兩倍。一個常見錯誤是寫成 (a + b)^2 = a^2 + b^2；那漏掉了 2ab。

(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)

F: x·x = x^2
O: x·5 = 5x
I: 5·x = 5x
L: 5·5 = 25

= x^2 + 5x + 5x + 25
= x^2 + 10x + 25      ← 10x is 2·(x·5)

With a minus:
(x − 5)^2 = x^2 − 10x + 25

二項式的平方：各部分各自平方，再加上它們乘積的兩倍。

結果 a^2 + 2ab + b^2 恰好是一個完全平方三項式——由二項式平方得來的三項式。日後反過來認出它，正是因式分解和配方法的核心。

兩數平方差

第二個模式：(a + b)(a − b) = a^2 − b^2。同樣的兩部分，一次相加、一次相減。用 FOIL 展開，外項（−ab）和內項（+ab）恰好抵消，只留下 a^2 − b^2——即兩數平方差。沒有中間項倖存。

(x + 7)(x − 7)

F: x·x   = x^2
O: x·(−7)= −7x
I: 7·x   = +7x   ← cancels the −7x
L: 7·(−7)= −49

= x^2 − 49

和乘以差：中間項相消，只剩 a^2 − b^2。

為何值得記住

這些模式兩個方向都能用。正著用，讓你一行就展開，而不必寫四行。反著用，讓你立刻看出可分解的形式：x^2 − 49 是平方差，於是分解為 (x + 7)(x − 7)。這種反向解讀，正是讓因式分解變快的關鍵。