每一項乘以每一項
多項式乘法基於一個想法：分配律，按需反覆使用。第一個多項式的每一項都必須乘以第二個多項式的每一項。兩項相乘時，係數相乘、指數相加——這就是指數乘法法則：x^2 · x^3 = x^5。
最簡單的情形是單項式乘以多項式：把這個單獨的項分配到括號內的每一部分上。這和你第一次乘 3(x + 2) 時做的展開動作完全一樣。
2x(3x^2 − 5x + 4) = 2x·3x^2 + 2x·(−5x) + 2x·4 = 6x^3 − 10x^2 + 8x
FOIL：兩個二項式
當你把兩個二項式相乘時，恰好有四個乘積。FOIL是個口訣，幫你一個都不漏：First（首項）、Outer（外項）、Inner（內項）、Last（末項）。FOIL 不是新規則——它只是分配律在「二乘二」這一特例下的記帳方式。
(x + 3)(x − 5) F: x·x = x^2 O: x·(−5) = −5x I: 3·x = 3x L: 3·(−5) = −15 = x^2 − 5x + 3x − 15 = x^2 − 2x − 15 combine the like middle terms
更大的乘積，同樣的思路
二項式乘三項式時，把二項式的每一項分配到整個三項式上，然後合併同類項。過程中保持標準形式，並對齊相同次冪——這能讓最後的整理幾乎自動完成。
(x + 2)(x^2 − 3x + 4)
x·(x^2 − 3x + 4) = x^3 − 3x^2 + 4x
2·(x^2 − 3x + 4) = 2x^2 − 6x + 8
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= x^3 − x^2 − 2x + 8