分數與小數：有理數的兩副面孔

從分數到小數，不過是做除法

分數 a/b 其實是一道等著被做的除法：那條分數線表示「a 除以 b」。所以 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75，而 1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333…。3/4 與 1/3 都是有理數，它們的小數形式也是——分數與小數不過是同一個數的兩副面孔。

3/4 as a decimal — long-divide 3.000 by 4:

     0.75
   ┌────────
 4 │ 3.00
     2 8        (4×7=28)
     ───
       20
       20        (4×5=20)
       ──
        0        remainder 0 → it stops

So 3/4 = 0.75  (a terminating decimal)

用分子除以分母，就能把任何分數化為它的小數。

為什麼有些小數會停，有些卻循環

當長除法最終出現餘數 0 時，小數就停下——這便是有限小數，如 0.75 或 0.4。當餘數開始循環、永遠不到 0 時，同一串數字便無限重複——這便是循環小數，如 1/3 = 0.333… 或 1/7 = 0.142857142857…。我們在循環節上方加一橫來表示。無論哪種，這個數仍是有理數；決定因素只是：化為最簡後分母的質因數是否僅含 2 與 5（則有限），還是含有別的質因數（則循環）。

把循環小數還原成分數

既然循環小數是有理數，你總能用一個漂亮的代數技巧把它的分數找回來：乘以 10 的某次冪，使其恰好移過一個完整的循環節，再相減，把那條無限的尾巴消去。最後別忘了把分數化為最簡形式。

Write 0.272727… as a fraction.

  Let x = 0.272727…
  Two repeating digits → multiply by 100:
      100x = 27.272727…
         x =  0.272727…
  Subtract:
      99x = 27
        x = 27/99
  Reduce by gcd(27,99)=9:
        x = 3/11        ✓  check: 3 ÷ 11 = 0.2727…

移位、相減、求解——每個循環小數背後都藏著一個分數。