為什麼我們不斷發明新的數
數並非一次性出現，而是隨著一個又一個需求逐漸成長。你先數羊：1、2、3、……——這就是自然數。接著有人問，把羊全賣光之後還剩幾隻，你就需要零；自然數加上零，便是整數（非負整數）。欠別人兩隻羊，你又需要負數，於是有了整數……、−2、−1、0、1、2、……。把一隻羊分給三個人，你便需要分數——也就是有理數。每一種新的數，都是為了回答舊有的數無法回答的問題而被發明的。
有理數是任何能寫成兩個整數之比 a/b（b 不為零）的數——這包括 7（= 7/1）、−3/4，以及 0.25（= 1/4）。很長一段時間裡，人們相信每一個數都是有理的。後來幾何學產生了 sqrt(2)，即單位正方形對角線的長度，結果發現沒有任何分數等於它。像這樣的數就是無理數。
一個盒子套著一個盒子
關鍵的圖景是：這些數集層層嵌套。每個自然數都是整數；每個整數（含負數）都屬於整數集；每個整數都是有理數；而所有有理數連同所有無理數，合起來構成實數——也就是整條沒有空隙的數軸。所以 5 同時是自然數、整數、有理數和實數。你用哪個名稱，只取決於你指的是哪一個盒子。
naturals ⊂ wholes ⊂ integers ⊂ rationals ⊂ reals 1, 2, 3 + 0 + (−1,−2) + 3/4, −7/2 + sqrt(2), π Classify each number (smallest box it fits): 6 → natural 0 → whole −4 → integer 2/5 → rational sqrt(9)=3 → natural (careful: it simplifies!) sqrt(2) → irrational π → irrational