整除、因數與倍數

一個數何時整除另一個數？

數論研究的是整數——即 …, -2, -1, 0, 1, 2, … 這些整數——只用四則基本運算。第一個概念是[[divisibility|整除]]。當 b 能被分成若干個大小為 a 的相等組而沒有剩餘時，我們就說整數 a 整除 整數 b。用符號表示，a 整除 b（記作 a | b）意味著存在整數 k 使得 b = a·k。

因此 3 | 12，因為 12 = 3·4；但 3 不整除 13，因為沒有整數乘以 3 恰好等於 13。這條豎線是關於兩個數的「是」或「否」的論斷；不要把它和分數 3/12 混淆。

因數與倍數：同一事實的兩種視角

如果 a | b，我們稱 a 是 b 的因數（或約數），並稱 b 是 a 的[[multiple|倍數]]。它們從兩端描述同一種關係：4 是 12 的因數，而 12 是 4 的倍數。列出一個數的所有因數，無非就是尋找每個能整除它的 a。

All factors of 24:
  1 × 24 = 24
  2 × 12 = 24
  3 ×  8 = 24
  4 ×  6 = 24
So the factors are: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Notice factors come in PAIRS that multiply to 24.
You only test up to sqrt(24) ≈ 4.9, because
after that the pairs just repeat in reverse.

最大公因數與最小公倍數的通俗說法

兩個數通常會共有若干因數。它們共有的最大因數就是[[greatest-common-factor|最大公因數]]，而它們都能整除的最小正數就是[[least-common-multiple|最小公倍數]]。這兩個概念貫穿後續所有內容——從約分到合併週期都用得上。

1. 列出每個數的因數。12 的因數：{1,2,3,4,6,12}；18 的因數：{1,2,3,6,9,18}。
2. 公因數是 {1,2,3,6}；最大的是 6，所以 GCF(12,18) = 6。
3. 列出倍數：12,24,36,… 和 18,36,…；最先共有的是 36，所以 LCM(12,18) = 36。
4. 驗證：GCF × LCM = 6 × 36 = 216 = 12 × 18。這條乘積規律永遠成立。