同一理想的三副面孔
Jacobson 根 J(R) 是一個雙側理想，每本入門書都用三種不同方式定義它——神奇之處在於它們彼此一致。(1) 所有極大左理想之交。(2) 所有 單 左模的零化子：J(R) = ∩ Ann(S)。(3) 使得對所有 r, s ∈ R 都有 1 − rxs 可逆的那些 x 的集合。定義 (2) 讓它顯然是雙側的，儘管 (1) 只提到左理想——一個小小的非交換奇蹟。
根為零即半單
這就是根重要的原因。對Artin環 R（左理想滿足降鏈條件——任何有限維代數都滿足），J(R) 是 冪零的：某個 m 使 J(R)^m = 0。並且 R 半單 當且僅當 J(R) = 0。所以根恰好就是半單性的障礙。把它取商，R/J(R) 就是半單的，於是落入 Artin-Wedderburn 的範疇。
因此對任何 Artin 環的策略都分兩步：用 Wedderburn 研究半單商 R/J(R)，再把 冪零 部分 J(R) 當作某種無窮小增厚來研究。許多困難的結構問題都歸結為理解 J(R) 如何坐落在一個乾淨的半單底座之上。
一個算出來的根
Let R be upper-triangular 2x2 matrices over a field k:
R = { [a, b; 0, d] : a, b, d in k }.
Maximal left ideals correspond to the two simple modules
S1 = k via [a,b;0,d] -> a (top-left action)
S2 = k via [a,b;0,d] -> d (bottom-right action)
Ann(S1) = { [0,b;0,d] }, Ann(S2) = { [a,b;0,0] }.
J(R) = Ann(S1) ∩ Ann(S2) = { [0, b; 0, 0] } = k*E_12.
Check nilpotent: [0,b;0,0]^2 = [0,0;0,0]. So J(R)^2 = 0. Good.
Quotient: R / J(R) ≅ k × k (just the diagonal a, d).
That is semisimple — two copies of M_1(k) — exactly as promised.這個小環是完美的警示故事：它有限維、十分具體，卻不半單。那個唯一的非對角位置 k·E_12 就是全部障礙。還要注意 R 只有分裂對角所需的平凡 冪等元，卻無法把根分裂出去——擴張 0 → S_1 →（自然模）→ S_2 → 0 不分裂。這種不分裂就是根的可見化身。