半單環與 Artin-Wedderburn

半單是什麼意思

若把環 R 看作其自身上的左模時它是 單模 的直和，則稱 R 是半單的。等價地——這才是好用的定義——每個左 R-模都是 完全可約的：它分解為單模的直和，於是每個 子模 都是直和項。沒有需要解開的擴張，沒有不分裂的非平凡 短正合列。局部地看，生活就像體上的線性代數一樣輕鬆。

Schur 引理作為引擎

整套結構理論靠一個微小的觀察運轉。Schur 引理：單模之間的同態要麼為零，要麼是同構。因此單模 S 的自同態環 End_R(S) 是一個 除環——每個非零自同態都可逆。除環不是憑空規定的，而是作為單模的自同態環出現的。 這就是 M_n(D) 中那個 D 的來源。

把 Schur 引理與另一個想法結合：對任意 R-模 M，有 End_R(M^n) ≅ M_n(End_R(M))。n 個副本的直和的自同態被組織成一個 n×n 的分量映射網格，恰如一個矩陣。把這兩個事實並排放在一起，M_n(D) 的形狀已經無可避免。

Artin-Wedderburn 定理

高潮在此。Artin-Wedderburn 定理：半單環 R 同構於除環上矩陣環的有限直積 R ≅ M_{n_1}(D_1) × ⋯ × M_{n_r}(D_r)。其中 r 等於單模的同構類個數；D_i 是它們的自同態除環（至多相差一個 op）；而 n_i 與 D_i 都唯一確定。單的半單環恰好就是單個因子 M_n(D)。

1. 把 R = ⊕ L_i 作為左模分解為單左理想，並把同構於同一單模 S_j 的那些 L_i 歸入同型塊。
2. 每個同型塊都是一個雙側理想 B_j，並且作為環 R = B_1 × ⋯ × B_r（各塊互相零化）。
3. 用模作用的對偶計算 R = End_R(R)；由 Schur 引理，塊 B_j 變為 End_R(S_j^{n_j}) ≅ M_{n_j}(D_j)，其中 D_j = End_R(S_j)。
4. 唯一性：單模及其重數是 R 的不變量，故 (n_j, D_j) 在排序與 op 意義下唯一確定。

Example: take complex group algebra C[S_3], dimension 6.
  S_3 has three irreducible reps over C:
    trivial   (dim 1)
    sign      (dim 1)
    standard  (dim 2)
Artin-Wedderburn forces
  C[S_3]  ≅  M_1(C) × M_1(C) × M_2(C).
Dimension check:  1^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6.  Matches |G| = 6.

The rule  sum of (dim of irreducible)^2 = |G|  is exactly the
Wedderburn dimension count for the semisimple ring C[G].