矩陣環的理想
設 D 是 除環，R = M_n(D) 是 D 上的 n×n 矩陣環。重點是：R 是 單環——它僅有的 雙側理想 就是 0 和 R 自身。這與 交換商環 形成強烈反差，那裡理想遍地都是。矩陣環幾乎沒有理想，而這種稀缺正是關鍵所在。
證明很具體。設 E_ij 是在位置 (i,j) 處為 1 的矩陣單位。若雙側理想 I 含某個非零矩陣 A，則它含某個元素 a = A_kl ≠ 0。於是 E_ik A E_lj 屬於 I 且等於 a·E_ij，又因 a 在 D 中可逆，乘上去即整理成 E_ij。一旦某個矩陣單位在 I 中，所有矩陣單位都在 I 中，它們之和為單位矩陣——故 I = R。
Work in M_3(D). Suppose A in I with A_21 = a != 0.
E_12 * A * E_13 picks out entry A_21 = a and reseats it:
= a * E_13 in I.
Left-multiply by (a^-1) * E_11 (allowed, scalar a^-1 in D):
(a^-1) E_11 * (a E_13) = E_13 in I.
Conjugating E_13 by permutation matrix units gives E_11, E_22, E_33;
their sum is the identity matrix => 1 in I => I = M_3(D).
Moral: one nonzero element of an ideal already forces the whole ring.左理想不是雙側理想
這些列模彼此同構，而 M_n(D) 上任意 單模 都同構於這唯一的列模 D^n。所以矩陣環在同構意義下恰有一個單模。這個事實是接下來整套分類的種子。
對偶環
當順序重要時，左與右是真正不同的，而切換兩側的記帳工具就是 對偶環 R^op：底集與加法不變，但新乘法定義為 a ∗ b := ba。一個左 R-模與一個右 R^op-模是同一份資料。轉置給出一個漂亮的事實：M_n(D)^op ≅ M_n(D^op)，因為 (AB)^T = B^T A^T 替你翻轉了順序。