當 ab ≠ ba：除環與四元數

放棄交換律

在第一卷裡，體是一個含么元 1 的交換環，其中每個非零元都可逆。去掉「交換」二字，就得到除環（也叫斜體）：一個 1 ≠ 0 的環，每個非零元都有雙側乘法逆元，但 ab 與 ba 可以不同。體恰好就是交換的除環。整個學科從這個問題開始：還有別的嗎？

誠實的答案是有，但它們稀少而珍貴。在實數上，能構造的有限維非交換除環本質上只有一個：四元數。這種稀缺是一條定理（Frobenius 定理），不是巧合，它告訴你：一旦固定了中心，這個世界有多麼剛硬。

構造四元數

Hamilton 的四元數 H 是一個 4 維實向量空間，基為 1, i, j, k。乘法由三條規則加上雙線性性唯一確定。下面是完整的乘法表——注意它關於對角線不對稱，這恰好就是交換律的失效。

Defining relations:   i^2 = j^2 = k^2 = -1,   ij = k,   ji = -k

Full table (row * column):
        1     i     j     k
  1     1     i     j     k
  i     i    -1     k    -j
  j     j    -k    -1     i
  k     k     j    -i    -1

So ij = k but ji = -k:  ij - ji = 2k  ≠ 0.  Order matters.

Inverse of q = a + bi + cj + dk:  use the conjugate q* = a - bi - cj - dk.
  q q* = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N(q)  (a nonneg real),
  so for q ≠ 0,   q^(-1) = q* / N(q).
Every nonzero q is invertible  =>  H is a division ring.

四元數乘法表，以及讓 H 成為除環的共軛技巧。

有限即交換

這是本學科第一個真正令人吃驚的定理。Wedderburn 小定理：每個有限除環都是體。非交換除環存在，但絕不會只有有限個元素。實數上的四元數之所以是無限的，是有原因的——在有限體上，根本沒有空間逃離交換性。