對偶空間及其基
對偶空間 $V^* = \operatorname{Hom}(V, R)$ 是 $V$ 上線性泛函的模——其元素吃進一個向量、返回一個純量。若 $V$ 有限維、基為 $(e_1, \ldots, e_n)$，則對偶基 $(e^1, \ldots, e^n)$ 由 $e^i(e_j) = \delta^i_j$ 定義（Kronecker delta：$i=j$ 時為 $1$，否則為 $0$）。於是 $e^i$ 「讀出第 $i$ 個座標」。從而 $\dim V^* = \dim V$，且存在典範同構 $V \cong V^{}$——但若無額外結構（如一個[[bilinear-form|雙線性形式]]），沒有**典範的 $V \cong V^*$。
$(p,q)$ 型張量與縮並
$V$ 上的 $(p,q)$ 型張量是 $\;\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{p} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{q}$ 的元素——$p$ 個逆變（上）位與 $q$ 個協變（下）位。$(1,0)$ 型是向量，$(0,1)$ 型是餘向量，$(1,1)$ 型是線性自同態（一個矩陣），$(0,2)$ 型是雙線性形式。縮並是這樣一個線性映射：它經由求值 $V \otimes V^* \to R$，$v \otimes \alpha \mapsto \alpha(v)$，把一個上位與一個下位配對，將型從 $(p,q)$ 降到 $(p-1, q-1)$。
Contraction = trace, made concrete. A type-(1,1) tensor is
T = sum_{i,j} T^i_j (e_i (x) e^j) in V (x) V^*.
Contracting the upper slot against the lower slot:
C(T) = sum_{i,j} T^i_j . e^j(e_i)
= sum_{i,j} T^i_j . delta^j_i
= sum_i T^i_i = trace(T). <- the diagonal sum!
So 'contract the two indices of a (1,1) tensor' IS 'take the trace.'
Basis-independence of trace is now obvious: contraction was defined
without reference to any basis (it is the canonical map V (x) V* -> R).
Einstein summation, decoded. Writing alpha_i v^i with an implied sum
over the repeated index i is exactly the contraction
V* (x) V -> R, alpha (x) v |-> alpha(v) = sum_i alpha_i v^i.
A repeated upper/lower index pair always means 'contract here.'你現在能讀懂什麼
握有對偶基、型與縮並之後，指標記號不再神秘。矩陣乘積 $C^i_k = \sum_j A^i_j B^j_k$ 是一個 $(1,1)$ 與一個 $(1,1)$ 沿一對指標的縮並；轉置交換哪個位是哪個；行列式是完全反對稱的縮並 $\det A = \frac{1}{n!}\,\varepsilon_{i_1\cdots i_n}\varepsilon^{j_1\cdots j_n} A^{i_1}_{j_1}\cdots A^{i_n}_{j_n}$——恰是第 4 篇頂層外冪故事的座標寫法。