無公式的行列式
設 $\dim V = n$，故 $\Lambda^n(V)$ 是一維的。線性映射 $T: V \to V$ 透過 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \mapsto Tv_1 \wedge \cdots \wedge Tv_n$ 誘導出 $\Lambda^n(T): \Lambda^n(V) \to \Lambda^n(V)$。一維空間的任何線性自同態都是某純量的乘法——而那個純量就是 $T$ 的[[determinant-exterior-power|行列式]]。沒有置換求和、沒有餘子式展開、沒有基：$\det T$ 只是 $T$ 縮放頂層形式的倍數。
Multiplicativity in one line. Lambda^n is a functor on linear maps:
Lambda^n(S . T) = Lambda^n(S) . Lambda^n(T).
Reading off scalars on the 1-dim space Lambda^n(V):
det(S.T) = det(S) . det(T). Done. No index gymnastics.
Recovering the classical formula. Fix basis e_1,...,e_n and let T have
matrix A = (a_{ij}), i.e. T e_j = sum_i a_{ij} e_i. Then
T e_1 ^ ... ^ T e_n
= ( sum_i a_{i1} e_i ) ^ ... ^ ( sum_i a_{in} e_i ).
Expand; any term with a repeated e_i dies (e_i ^ e_i = 0), so only
permutations survive, each contributing a sign = sgn(sigma):
= ( sum_{sigma in S_n} sgn(sigma) a_{sigma(1),1} ... a_{sigma(n),n} )
. (e_1 ^ ... ^ e_n).
The scalar in parentheses is exactly the Leibniz formula for det(A).
Check on 2x2, A = [a, b; c, d]:
(a e_1 + c e_2) ^ (b e_1 + d e_2)
= ad (e_1^e_2) + cb (e_2^e_1) = (ad - bc)(e_1^e_2). det = ad - bc.對稱代數：用交換性取代符號
對 $T(V)$ 用另一條自然關係——$v \otimes w - w \otimes v$——取商，便得到對稱代數 $S(V) = T(V) / (v \otimes w - w \otimes v)$，其中乘法是交換的。外代數要求變號，對稱代數則要求次序完全無關緊要。其 $k$ 次部分 $S^k(V)$ 以 $V$ 一組基上的無序單項式為基，故 $\dim S^k(V) = \binom{n+k-1}{k}$。
妙處在於：若 $V$ 有基 $x_1, \ldots, x_n$，則 $S(V)$ 典範地就是多項式環 $R[x_1, \ldots, x_n]$，按總次數分次。於是對稱代數是「多項式環」的無座標、無關基的含義——且滿足泛性質：到交換代數的線性映射 $V \to A$ 唯一延拓為代數同態 $S(V) \to A$。這是從多線性代數通往交換代數及其上幾何的橋樑。