張量代數與外（楔）代數

疊加冪次：張量代數

記 $V^{\otimes k} = V \otimes \cdots \otimes V$（$k$ 個因子），其中 $V^{\otimes 0} = R$，$V^{\otimes 1} = V$。張量代數是直和 $T(V) = \bigoplus_{k \ge 0} V^{\otimes k}$，其乘法由拼接給出：$(v_1 \otimes \cdots \otimes v_p)\cdot(w_1 \otimes \cdots \otimes w_q) = v_1 \otimes \cdots \otimes v_p \otimes w_1 \otimes \cdots \otimes w_q$。這使 $T(V)$ 成為分次代數——按張量次數分次——並且實為 $V$ 上的自由結合代數：任何到結合代數的線性映射 $V \to A$ 都唯一延拓為代數同態 $T(V) \to A$。這又是一個泛性質。

$T(V)$ 龐大且非交換——一般地 $v \otimes w \ne w \otimes v$。外代數與對稱代數是 $T(V)$ 最重要的兩個商，由額外施加一條關係得到。把 $T(V)$ 看作原料，把後面的代數看作要求一條符號規則（外）或交換性（對稱）所得之物。

施加 $v \wedge v = 0$

外代數是 $\Lambda(V) = T(V) / I$，其中 $I$ 是由全部 $v \otimes v$ 生成的雙邊理想。誘導出的乘積是楔積 $\wedge$，而定義關係 $v \wedge v = 0$ 迫使反對稱性：$0 = (v+w)\wedge(v+w) = v\wedge w + w\wedge v$，故 $v \wedge w = -\,w \wedge v$。更一般地，交換任意兩個相鄰因子都改變符號——楔運算正是交錯（即變號）多線性映射的代數。

Dimensions of the exterior powers.  If dim V = n, then
    dim Lambda^k(V) = C(n, k)  (binomial),   and total dim Lambda(V) = 2^n.
Basis of Lambda^k(V):  { e_{i_1} ^ ... ^ e_{i_k} : i_1 < i_2 < ... < i_k }.

Why 'i_1 < ... < i_k'?  Any repeat gives 0 (since e_i ^ e_i = 0), and any
reordering only changes the sign, so strictly increasing indices list each
basis element exactly once.

Worked example, n = 3, basis e_1,e_2,e_3:
  Lambda^0 : 1                      (dim 1)
  Lambda^1 : e_1, e_2, e_3          (dim 3)
  Lambda^2 : e_1^e_2, e_1^e_3, e_2^e_3   (dim 3)
  Lambda^3 : e_1^e_2^e_3            (dim 1)   <- the TOP power, one-dimensional

Compute (e_1 + 2e_2) ^ (e_2 - e_3):
  = e_1^e_2 - e_1^e_3 + 2 e_2^e_2 - 2 e_2^e_3
  = e_1^e_2 - e_1^e_3 - 2 e_2^e_3        (the 2 e_2^e_2 term vanishes).

外冪的維數是二項式係數，求和為 $2^n$。頂層外冪 $\Lambda^n(V)$ 恆為一維——第 4 篇正是由此造出行列式。

楔積度量有向體積

幾何上，$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ 表示由 $v_i$ 張成的平行多面體的有向 $k$-體積。反對稱性編碼了定向（交換兩條邊即變號）與退化（兩條相等的邊給出零體積）。一組向量線性無關當且僅當其楔積非零——楔運算是一個乾淨、無需基的無關性探測器。