張量積及其泛性質

泛性質就是定義

$R$-模 $M$ 與 $N$ 的張量積是一個模 $M \otimes_R N$，配上一個雙線性映射 $\otimes: M \times N \to M \otimes_R N$，$(m,n) \mapsto m \otimes n$，滿足泛性質：對每個 $R$-模 $P$ 和每個雙線性映射 $b: M \times N \to P$，存在唯一的線性映射 $\bar b: M \otimes_R N \to P$ 使 $\bar b(m \otimes n) = b(m,n)$。 一句話：從 $M \times N$ 出發的雙線性映射 = 從 $M \otimes N$ 出發的線性映射。這個雙射就是該對象存在的全部理由。

構造它，以及你必須遵守的關係

存在性是一個商構造。先取以符號集 $\{(m,n)\}$ 為基的龐大自由模 $F$，再對由全部雙線性關係生成的子模取商。這些符號的類記作 $m \otimes n$，稱為純（或簡單）張量。關鍵在於：並非 $M \otimes N$ 的每個元素都是純張量——一般元素是有限和 $\sum_i m_i \otimes n_i$，而重寫可把長和壓縮為短和。

第一位加性：$(m + m') \otimes n = m \otimes n + m' \otimes n$。
第二位加性：$m \otimes (n + n') = m \otimes n + m \otimes n'$。
純量可滑過：$(rm) \otimes n = r(m \otimes n) = m \otimes (rn)$，其中 $r \in R$。
由此 $m \otimes 0 = 0 = 0 \otimes n$，且你可自由地在兩個因子之間搬動環元素。

Basis of a tensor product (over a field k).  If (e_i) is a basis of M
and (f_j) a basis of N, then (e_i (x) f_j) is a basis of M (x) N.
Hence   dim(M (x) N) = (dim M)(dim N).        <- the mn from guide 1!

Worked relation in R^2 (x) R^2.  Let v = e_1 + e_2, w = e_1 - e_2.
  v (x) w = (e_1 + e_2) (x) (e_1 - e_2)
          = e_1(x)e_1 - e_1(x)e_2 + e_2(x)e_1 - e_2(x)e_2.
So the single pure tensor v (x) w expands to 4 basis tensors.

Conversely, e_1(x)e_1 + e_2(x)e_2 is NOT a pure tensor: no a(x)b equals it
(its 'matrix' [1,0;0,1] has rank 2, while a pure tensor a(x)b has rank 1).

純張量是秩 $\le 1$ 的「矩陣」；更高秩的純張量之和無法寫成單個 $a \otimes b$。基的計數復現了第 1 篇的 $mn$。

首份回報：純量擴張

若 $R \to S$ 是環同態，$M$ 是 $R$-模，則 $S \otimes_R M$ 自然地是 $S$-模——你完成了純量擴張，把 $M$ 提升到更大的環 $S$ 上。把實向量空間複化，恰是 $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} V$。這一步支撐著幾何中的基變換、不同域上的表示論，以及矩陣的Kronecker 積。