在每個位置上分別線性
設 $R$ 是交換環，$M$、$N$、$P$ 是 $R$-模。雙線性映射 $b: M \times N \to P$ 是這樣一個函數：固定其中一個變量時，對另一個變量線性。具體地，對所有 $m, m' \in M$、$n, n' \in N$、$r \in R$：$b(m+m', n) = b(m,n) + b(m',n)$、$b(rm, n) = r\,b(m,n)$，以及第二個位置上對稱的一對條件。若你已熟悉向量空間，第一遍閱讀時把「模」讀作「向量空間」即可——本指南不會出問題。
多線性映射是同樣的想法，只是有 $k$ 個位置：$f: M_1 \times \cdots \times M_k \to P$ 在每個 $M_i$ 上分別線性。點積、叉積、矩陣乘法、作為列函數的行列式——全都是多線性的。某種意義上，整門學科就是對這些映射的系統研究。
一個雙線性映射含多少資訊？
在域上，固定 $M$ 的基 $(e_i)$ 與 $N$ 的基 $(f_j)$。雙線性性表明：一個雙線性映射完全由它在基向量對上的取值 $b(e_i, f_j)$ 決定，且這些值可任意選取。於是 $\dim M = m$、$\dim N = n$ 時，雙線性形式 $b: M \times N \to k$ 恰好是一個 $m \times n$ 的矩陣——陣列 $B_{ij} = b(e_i, f_j)$。$mn$ 個自由參數這一計數，是雙線性映射想住在維數為 $mn$ 而非 $m+n$ 的空間裡的第一個暗示。
Example: a bilinear form on R^2. Take M = N = R^2 with basis e_1, e_2.
A bilinear form b is fixed by the four numbers
B = [ b(e_1,e_1), b(e_1,e_2); b(e_2,e_1), b(e_2,e_2) ].
Then for x = x_1 e_1 + x_2 e_2 and y = y_1 e_1 + y_2 e_2,
b(x, y) = sum_{i,j} x_i B_{ij} y_j = x^T B y (row vector x^T, column y).
Concrete dot product: B = [1, 0; 0, 1] gives b(x,y) = x_1 y_1 + x_2 y_2.
A skew example: B = [0, 1; -1, 0] gives b(x,y) = x_1 y_2 - x_2 y_1
= det([x_1, y_1; x_2, y_2]).
Note b(x,x) = 0 here: this alternating form will reappear as the wedge product.兩類特殊的雙線性形式現在就值得命名，並在以後有自己的篇章：對稱形式滿足 $b(x,y) = b(y,x)$（矩陣 $B = B^T$），而斜或交錯形式滿足 $b(x,x) = 0$（在特徵非 $2$ 時迫使 $b(x,y) = -b(y,x)$）。上面那個斜的例子，正是整個外代數的種子。
夢想：把「雙線性」變成「線性」
線性代數之所以強大，正是因為線性映射可經矩陣分解、能乾淨地複合、並擁有核與像。雙線性映射直接地沒有這套機器。於是接下來本篇章的綱領是：構造一個單一空間 $M \otimes N$ 與一個單一的雙線性映射 $\otimes: M \times N \to M \otimes N$，它如此泛，以至於每個從 $M \times N$ 出發的雙線性映射都變成從 $M \otimes N$ 出發的普通線性映射。 於是線性代數的整套工具便適用於多線性問題。