定理的兩種形態
設 R 是主理想整環，M 是有限生成 R-模。結構定理說 M 可分解，且有兩種等價方式。不變因子形： M ≅ Rʳ ⊕ R/(d₁) ⊕ ⋯ ⊕ R/(dₖ)，其中 d₁ | d₂ | ⋯ | dₖ（皆非單位）。初等因子形： 借唯一分解把每個循環撓塊拆為 R/(p₁^{a₁}) ⊕ ⋯，用素數冪表示。自由秩 r 與不變因子鏈（差一個單位）由 M 唯一確定。
你應記在心裡的證明：把 M 表為某映射 Rⁿ → Rᵐ 的餘核，該映射由矩陣 A 給出。因 R 是主理想整環——當 R 是歐幾里得整環時，跑歐幾里得演算法即足夠——行列變換把 A 化為 Smith 標準形 diag(d₁, …, dₖ, 0, …, 0)，其中 d₁ | ⋯ | dₖ。讀出對角矩陣的餘核即直接得到不變因子分解。一切歸結為對角化一個整數（或多項式）矩陣。
推論一：有限生成阿貝爾群
取 R = Z。則有限生成 Z-模恰為有限生成阿貝爾群，定理化為它們的完全分類：每個這樣的群皆為 Zʳ ⊕ Z/d₁Z ⊕ ⋯ ⊕ Z/dₖZ，其中 d₁ | ⋯ | dₖ。整數 r 是秩，dᵢ 是不變因子。兩個這樣的群同構當且僅當 r 相同且不變因子相同——一份有限的清單。
Classify abelian groups of order 360 = 2^3 * 3^2 * 5.
Elementary-divisor form: choose a partition of each prime's exponent.
2^3: partitions of 3 -> (3), (2,1), (1,1,1) 3 ways
3^2: partitions of 2 -> (2), (1,1) 2 ways
5^1: partitions of 1 -> (1) 1 way
Total: 3 * 2 * 1 = 6 abelian groups of order 360.
One of them, fully written both ways:
elementary divisors 2, 4, 9, 5 -> Z/2 (+) Z/4 (+) Z/9 (+) Z/5
collect into invariant factors by CRT, largest last:
d2 = lcm(4,9,5) = 180, d1 = remaining 2
so Z/2 (+) Z/180, with d1=2 | d2=180. Check: 2*180 = 360. OK
Both descriptions name the SAME group; uniqueness is the content
of the structure theorem.推論二：Jordan 與有理標準形
現取 R = k[x]，並憶起第 1 篇：帶線性算子 T 的向量空間 V 經 x·v = T(v) 是 k[x]-模。因 V 有限維，此模有限生成且為撓（其零化子含極小多項式）。結構定理把它分解為循環塊 k[x]/(fᵢ(x))。在每塊上選基即恢復 T 的標準矩陣：不變因子的友矩陣給出有理標準形，而在代數閉域上，初等因子塊 (x−λ)^a 給出 Jordan 標準形。
T on a 3-dim C-vector space with characteristic poly (x-2)^3.
As a C[x]-module, V is torsion with annihilator generated by some
power of (x-2). The possible elementary-divisor patterns:
(x-2)^3 -> one Jordan block J3(2):
[2 1 0; 0 2 1; 0 0 2]
(x-2)^2, (x-2) -> blocks J2(2) (+) J1(2):
[2 1 0; 0 2 0; 0 0 2]
(x-2),(x-2),(x-2) -> three J1(2), i.e. 2*I:
[2 0 0; 0 2 0; 0 0 2]
Three partitions of 3 -> exactly three similarity classes with this
characteristic polynomial. Each is one module up to isomorphism, and
similar matrices = isomorphic C[x]-modules. The structure theorem and
the classification of conjugacy classes of nilpotent-plus-scalar maps
are LITERALLY the same statement.