自由模：能有基時的基
自由模是有基的模：一組既生成又 R-線性無關的元素。等價地 F ≅ ⨁ᵢ R，是若干份 R 的直和。自由模最接近向量空間，並享有處處定義基的那條泛性質：從自由模出發的映射，由基的去向自由地決定。在域上每個模都自由（這正是基定理），但在 Z 上模 Z/2Z 不自由——它有撓，而整環上的自由模都無撓。
投射與內射：提升與擴張
若每個映到 P 的滿射都分裂，則 P 是投射的——等價地，從 P 出發的每個映射都能沿任意滿射提升：給定 M ↠ N 與 P → N，存在 P → M 使三角交換。最乾淨的刻畫：P 投射當且僅當它是某自由模的直和項。 每個自由模都投射；逆未必成立。在主理想整環（或任何局部環）上投射與自由重合，這正是為何投射性在初課中難得露面——它需要比 Z 更粗糙的環。
把每個箭頭對偶，便得內射：若每個映入 I 的映射都能擴張，則 I 內射——給定單射 A ↪ B 與映射 A → I，它擴張為 B → I。「自由模的直和項」的對偶難以圖示，但 Baer 判別法使內射性可檢驗：I 內射當且僅當每個從理想出發的映射 a → I 都能擴張為 R → I。在 Z 上，內射 = 可除：Q 與 Q/Z 是標準的內射 Z-模。
平坦：張量而不損傷
函子 M ⊗_R –（見張量積）總保持滿射，卻可能破壞單射。若與 M 張量也保持單射——即 M ⊗_R – 正合——則稱 M 平坦。自由 ⟹ 投射 ⟹ 平坦，且這些箭頭一般都不可逆。在主理想整環上，平坦 ⟺ 無撓，給出一行即可的判據。
Why Z/2Z is NOT flat over Z — a tensor that kills an injection. Start with the injection f : Z -> Z, f(x) = 2x. (multiplication by 2) It is injective: 2x = 0 in Z forces x = 0. Apply - (x)_Z Z/2Z to the whole map. Using Z (x) Z/2Z = Z/2Z: f (x) id : Z/2Z -> Z/2Z becomes [a] |-> [2a] = [0]. So the tensored map is the ZERO map on Z/2Z. But the original f was INJECTIVE and the tensored map is NOT (its kernel is all of Z/2Z). Tensoring with Z/2Z broke injectivity => Z/2Z is not flat. Consistent with: over a PID, flat = torsion-free, and Z/2Z is all torsion. Meanwhile Q IS flat over Z (it is torsion-free); tensoring with Q is exact -- this is just "localization," passing to rational scalars.