同態、商模與同構定理

R-線性映射與 Hom 模

模同態（或 R-線性映射）f : M → N 是底層阿貝爾群之間的群同態，且與作用可交換：f(rm) = r f(m)。當 R = k 時這恰是線性變換；當 R = Z 時恰是群同態——模的概念再次同時吞下二者。核 ker f = { m : f(m) = 0 } 是 M 的子模，像 im f 是 N 的子模。

一處微妙而有用之處：所有 R-線性映射的集合 Hom_R(M, N) 在逐點加法下本身是阿貝爾群，而當 R 交換時它透過 (rf)(m) = r·f(m) 成為 R-模。這種自指的豐富性——模的 Hom 又是模——正是後幾篇同調機器得以運轉的根基。整套結構組織為範疇 R-Mod，對象是模，箭頭是 R-線性映射。

商模與四條定理

由於子模自動「正規」（群是阿貝爾的，無須擔心正規性），每個子模 N ⊆ M 都給出商模 M/N：陪集 m + N，作用為 r(m+N) = rm + N，其良定恰因 N 是子模。商映射 M → M/N 是 R-線性的，核為 N。由此同構定理被強制成立，完全平行於群與環的情形。

第一定理。 對 f : M → N，有 M/ker f ≅ im f。模去核即得到像——這正是「通過核分解」的普遍陳述。
第二定理（菱形）。 對子模 A、B：(A+B)/B ≅ A/(A∩B)。
第三定理。 對 N ⊆ L ⊆ M：(M/N)/(L/N) ≅ M/L——「約去 N」。
第四定理（對應）。 M/N 的子模與 M 中包含 N 的子模之間存在保序雙射對應。

Worked instance of the First Isomorphism Theorem, R = Z.

Define f : Z -> Z/6Z by f(n) = n mod 6. This is Z-linear and onto.
  ker f = { n : n = 0 mod 6 } = 6Z
  im f  = Z/6Z
First theorem:  Z / 6Z  ≅  Z/6Z.   (a tautology here, but it CHECKS)

Now the Third theorem with N = 6Z, L = 2Z, M = Z (so 6Z ⊆ 2Z ⊆ Z):
  M/N = Z/6Z   has 6 elements {0,1,2,3,4,5}
  L/N = 2Z/6Z = {0,2,4}   the even classes, a submodule of order 3
  (M/N)/(L/N) = (Z/6Z)/{0,2,4}   has 6/3 = 2 elements
  M/L = Z/2Z   also has 2 elements
Indeed (Z/6Z)/(2Z/6Z) ≅ Z/2Z.   The N's cancel.

在 Z 與 Z/6Z 上驗證第一與第三同構定理。

單模：原子

若一個非零模的子模只有 0 與自身，則稱它為單模——是單群的模類比。由對應定理，單模恰為商 R/m，其中 m 是極大理想：循環，且因 m 極大而無真非零子模。它們是不可再分的基本塊；第 4 篇將把它們疊成合成列。