定義，以及那條改變一切的公理
你早已認識兩個模的例子，只是不知道這個詞。向量空間是一個能用域中元素去數乘的阿貝爾群。而阿貝爾群本身則是能用整數去數乘的東西——把一個元素自加 n 次。把「域」或「Z」換成任意環 R，得到的就是模：一個阿貝爾群 M，配上映射 R × M → M，記作 (r, m) ↦ rm，滿足 r(m+n)=rm+rn、(r+s)m=rm+sm、(rs)m=r(sm) 以及 1m=m。
這些公理與向量空間的公理逐字相同。只有一處變了：R 不必是域，於是非零的 r 不必可逆。這唯一的放寬，就是整門學科。在域上你總能除以非零純量，所以每個向量空間都有基。一旦不能除，基可能消失、維數可能無法良定，於是全新的現象——撓、非自由模、投射性——紛紛登場。
你早已熟識的模之畫廊
- Z-模就是阿貝爾群。 給定阿貝爾群 A，作用 n·a（a 自加 n 份）是唯一可能的，故 Z-模範疇與阿貝爾群範疇根本是同一個。
- 環是自身上的模。 R 透過左乘作用在 R 上。其子模恰好是 R 的理想——這正是為何理想理論是偽裝的模論。
- 帶算子的向量空間是 k[x]-模。 設 V 是域 k 上的向量空間，T 是線性映射。定義 x·v = T(v)，則 V 成為多項式環 k[x] 上的模，而 V 作為 k[x]-模的結構正編碼了 T 的有理標準形與 Jordan 標準形。
子模 N ⊆ M 是對作用封閉的子群（對所有 r、n 有 rn ∈ N）。子模的交仍是子模，故對任意子集 S ⊆ M 存在包含 S 的最小子模——由 S 生成的子模，記作 RS = { Σ rᵢsᵢ : rᵢ ∈ R, sᵢ ∈ S }。當單個元素就能生成整個 M 時稱 M 為循環模，即循環群的模類比。
撓與零化子：域曾向你隱瞞的東西
在域上，rv = 0 且 r ≠ 0 迫使 v = 0——乘以 r⁻¹ 即可。在一般環上這會失敗，而這失敗有個名字。若存在非零 r ∈ R 使 rm = 0，則稱 m 為撓元。零化子 Ann(m) = { r ∈ R : rm = 0 } 是一個理想；Ann(M) = { r : 對所有 m 有 rm = 0 } 衡量 R 中有多少元素零作用。在撓模中每個元素都被某個非零元素消滅。
Take R = Z and M = Z/6Z, an abelian group hence a Z-module.
The element 2 in Z/6Z is torsion: 3 * 2 = 6 = 0, with 3 != 0 in Z.
So Ann(2) = { n in Z : n*2 = 0 mod 6 } = 3Z.
The element 1 has Ann(1) = 6Z (since 6*1 = 0 is the first hit).
The whole module: Ann(M) = 6Z, because 6 kills everything.
EVERY element of Z/6Z is torsion, so Z/6Z is a torsion Z-module.
Contrast Z itself: n*1 = 0 forces n = 0, so Z is torsion-FREE.
This cannot happen over a field: if k is a field, the only
torsion element of any k-vector space is 0.