求解方程組：克拉瑪公式與列簡化

克拉瑪公式：用行列式求解

取一個方程組，讀出它的係數矩陣。克拉瑪公式說，每個未知數都是兩個行列式之比：分母是係數矩陣的行列式 D；分子則把該變數所在的那一行替換成右端的常數。

System:   2x + 3y = 8
          1x - 1y = -1

D  = det[ 2  3 ; 1  -1 ] = 2*(-1) - 3*1   = -5
Dx = det[ 8  3 ; -1 -1 ] = 8*(-1) - 3*(-1) = -5   (x-column -> constants)
Dy = det[ 2  8 ; 1  -1 ] = 2*(-1) - 8*1   = -10  (y-column -> constants)

x = Dx / D = -5 / -5 = 1
y = Dy / D = -10 / -5 = 2

Check: 2(1)+3(2)=8  and  1-2=-1.  Both hold.

對 2×2 方程組用克拉瑪公式：把某一行換成常數，再取比值。

增廣矩陣與列運算

第二種方法把整個方程組裝進一個增廣矩陣：左邊是係數，一條豎線，右邊是常數。然後我們用三種基本列運算把它整理乾淨，每一種都不改變解。

交換兩列（重排方程式）。
把某一列乘以一個非零數（縮放一個方程式）。
把某一列的倍數加到另一列（合併方程式以消去一個變數）。

化到簡化列階梯形

高斯消去法的目標是把左側區塊整理成單位矩陣——這種狀態叫簡化列階梯形。一旦左側成了單位矩陣，右側那一行就直接讀出答案。

Same system, as an augmented matrix:
[ 2   3 |  8 ]
[ 1  -1 | -1 ]

R1 <-> R2  (get a leading 1 on top):
[ 1  -1 | -1 ]
[ 2   3 |  8 ]

R2 -> R2 - 2*R1  (clear below the leading 1):
[ 1  -1 | -1 ]
[ 0   5 | 10 ]

R2 -> R2 / 5:
[ 1  -1 | -1 ]
[ 0   1 |  2 ]

R1 -> R1 + R2  (clear above):
[ 1   0 |  1 ]
[ 0   1 |  2 ]

Left block is the identity -> read off:  x = 1,  y = 2.

把增廣矩陣列簡化到簡化列階梯形；答案出現在右側。