行列式與反矩陣

方陣的行列式

行列式是我們從一個方陣中提取出的單個數字，記作 det(A) 或 |A|。對 2 × 2 的矩陣它簡單得令人愉快：主對角線相乘，另一條對角線相乘，再相減。這一個數字告訴我們矩陣是否可逆。

        [ a  b ]
  A  =  [ c  d ]      det(A) = a*d - b*c

Example:
        [ 4  3 ]
  A  =  [ 2  5 ]      det(A) = 4*5 - 3*2 = 20 - 6 = 14

2×2 行列式：（主對角線）−（副對角線）。

對 3 × 3 的矩陣，我們沿第一列展開：把頂列的每個元素，乘以刪去它所在列行後剩下的 2 × 2 行列式，符號交替為 +、−、+。

        [ 1  2  3 ]
  A  =  [ 0  4  5 ]
        [ 1  0  6 ]

det = 1*det[4 5; 0 6] - 2*det[0 5; 1 6] + 3*det[0 4; 1 0]
    = 1*(4*6 - 5*0) - 2*(0*6 - 5*1) + 3*(0*0 - 4*1)
    = 1*(24) - 2*(-5) + 3*(-4)
    = 24 + 10 - 12
    = 22

用交替符號沿頂列展開一個 3×3 行列式。

當行列式為零時

如果 det(A) = 0，這個矩陣就叫奇異矩陣，它沒有反矩陣——就像數字 0 沒有倒數一樣。非零的行列式意味著矩陣可逆（也稱非奇異）。所以行列式是一個「一數定論」的檢驗：為零就擋住反矩陣，非零就放行。

建構反矩陣

A 的反矩陣記作 A^(-1)，是滿足 A · A^(-1) = A^(-1) · A = I（單位矩陣）的那個矩陣。它是倒數的矩陣類比。對 2 × 2 的矩陣有一個簡潔的公式：把主對角線的兩個元素互換，把副對角線的兩個元素變號，再整體除以行列式。

        [ a  b ]                    1     [  d  -b ]
  A  =  [ c  d ]      A^(-1) = --------- [ -c   a ]
                               (ad - bc)

Example: A = [ 4  3 ],  det = 14
             [ 2  5 ]
              1  [  5  -3 ]      [  5/14  -3/14 ]
  A^(-1) = ---- [ -2   4 ]  =   [ -2/14   4/14 ]
            14

Check: A * A^(-1) should give the 2x2 identity I.

2×2 反矩陣：主對角線互換，副對角線變號，再除以行列式。