矩陣運算：加法、純量乘法與轉置

逐元素相加

矩陣加法是所有運算中最友善的：要把兩個矩陣相加，只需把處於相同位置的元素對應相加。只有一條規則——兩個矩陣的維數必須相同，否則有些元素就沒有搭檔，和也就無定義。

[ 2  -1 ]   [ 4   5 ]   [ 2+4   -1+5 ]   [ 6   4 ]
[ 0   3 ] + [ 1  -2 ] = [ 0+1    3-2 ] = [ 1   1 ]

Same shape in, same shape out. Add matching positions.

把兩個 2×2 矩陣逐位置相加。

純量乘法：把矩陣放大

純量就是普通的數字（用來與矩陣區分）。純量乘法的意思是把矩陣的每個元素都乘以這一個數。乘以 3 就把每個元素變成三倍；乘以 −1 就把每個符號翻轉，這正是我們建構矩陣的相反數、從而進行減法的方法：A − B = A + (−1)B。

          [ 2  -1 ]   [ 3*2   3*(-1) ]   [ 6  -3 ]
     3 *  [ 0   4 ] = [ 3*0   3*4    ] = [ 0  12 ]

Subtraction via scaling by -1:
[ 5  2 ]   [ 1  3 ]   [ 5  2 ]   [ -1  -3 ]   [ 4  -1 ]
[ 1  0 ] - [ 2  4 ] = [ 1  0 ] + [ -2  -4 ] = [-1  -4 ]

乘以 3，以及透過加上 (−1) 倍矩陣來做減法。

轉置：沿對角線翻折

矩陣 A 的轉置記作 A^T，它把列變成行、把行變成列。第一列變成第一行，第二列變成第二行，依此類推——就像把方陣沿主對角線反射一樣。2 × 3 的矩陣轉置成 3 × 2 的矩陣；維數互換。

        [ 2  -1   0 ]                 [  2   5 ]
  A  =  [ 5   3   7 ]    =>    A^T =  [ -1   3 ]
        (2 x 3)                       [  0   7 ]
                                       (3 x 2)

Row 1 of A  ->  Column 1 of A^T
The entry a(i,j) lands at position (j,i).

轉置把列與行互換；元素 (i,j) 移到 (j,i)。