對數：還原指數

對數所問的問題

乘方取一個底數和一個冪，給出結果：2 的 3 次方是 8。對數把這一過程倒過來。它取底數和結果，給出冪：從底 2 與結果 8 出發，它問「要把 2 升到幾次方才得到 8？」答案是 3。我們寫作 log₂ 8 = 3，讀作「以 2 為底 8 的對數等於 3」。

所以對數不過是喬裝的指數——你一直在找的那個指數。整個主題中最有用的一條事實是：兩種形式說的是同一回事，你可以在它們之間自由互換：

EXPONENTIAL FORM   <===>   LOGARITHM FORM
     b^y = x                log_b(x) = y

The base b is the same in both.
The log's answer (y) is the exponent.

Examples:
  2^3 = 8        becomes  log_2(8)  = 3
  10^2 = 100     becomes  log_10(100) = 2
  5^0 = 1        becomes  log_5(1)  = 0
  3^(-2) = 1/9   becomes  log_3(1/9) = -2

同一陳述，兩套外衣——多練互換。

對數與指數互為逆

因為彼此互相還原，對數函數 log_b(x) 是指數函數 b^x 的反函數。指數函數是一對一的——每個輸出恰好來自一個輸入——這正是它能擁有反函數的條件。把一個餵給另一個就相互抵消：b^(log_b x) = x 且 log_b(b^x) = x。

兩個值得記住的底

有兩個底用得太頻繁，於是有了簡寫名。常用對數以 10 為底，簡記為 log x（不寫下標）——契合我們的十進制數系與科學記數法。自然對數以 e 為底，記為 ln x——是自然指數 e^x 的反函數，在科學中處處出現。見到無底的 log，默認為 10；見到 ln，底是 e。

Common log (base 10), written log:
  log 1000 = 3     because 10^3 = 1000
  log 100  = 2     because 10^2 = 100
  log 1    = 0     because 10^0 = 1
  log 0.01 = -2    because 10^(-2) = 0.01

Natural log (base e), written ln:
  ln e   = 1       because e^1 = e
  ln 1   = 0       because e^0 = 1
  ln(e^5) = 5      because ln undoes e^(...)

log 指底 10；ln 指底 e——讀每道題都要記住這一點。