把利息推向極限
把 1 美元存入年利率 100% 的帳戶。年末一次付清得 2 美元。但假設分兩期、每半年付 50%：半年時得 1·(1.5) = 1.5，年末得 1.5·(1.5) = 2.25——更多，因為上半年的利息*本身*也生了息。改為按月、按日、每一瞬間付，年末總額繼續攀升——卻並非無界。它逼近一個確定的數。
Value after one year = (1 + 1/n)^n for n payments n = 1 (1 + 1/1)^1 = 2.00000 n = 2 (1 + 1/2)^2 = 2.25000 n = 4 (1 + 1/4)^4 = 2.44141 n = 12 (1 + 1/12)^12 = 2.61304 n = 365 (1 + 1/365)^365 = 2.71457 n = 1000000 (...)^1000000 = 2.71828... As n grows, the total settles on e = 2.718281828...
那個極限數是 e = 2.718281828……它是一個無理數——小數永不循環——事實上還是超越數，意即沒有任何整係數多項式方程式以它為根。我們像攜帶 π 一樣把它記作符號 e，只在最後一步才動用計算機。
為何稱這個底數為自然
自然指數函數是 f(x) = e^x。它被稱作*自然*，是因為它描述任何這樣的量：其增長速率在每一瞬間都與當下已有的量成正比——持續計息的儲蓄、細胞菌落、逐漸冷卻到室溫的熱咖啡。凡是以現有之物為本、不停地增長之物，都受 e 支配。
對隨時間 t 以速率 r 連續增長的量，模型為 A = A₀·e^(rt)，其中 A₀ 是初始量。r 為正則增長，為負則衰減。由於 e^x 本身就是底為 e > 1 的指數函數，其圖像與上一篇的曲線同形：恆為正，左側貼近 x 軸，右側上升，過點 (0, 1)。