直線即恆定的變化率
一種關係之所以是線性的，是因為它的 變化率 恆定：x 每增加一個單位，y 就改變同樣的量，也就是 斜率 m。這正是圖像為一條直線的原因。在真實模型裡，y 截距 b 是初始值，斜率 m 是事物增長或減少的速率。
A taxi charges $3 to start plus $2 per mile.
cost y as a function of miles x:
y = 2x + 3
starting value b = 3 (the flat fee)
rate m = 2 ($2 per mile)
x=0: y = 3 x=1: y = 5 x=2: y = 7
every extra mile adds exactly $2 -> constant rate把直線看作函數
一條非豎直的直線是一個 函數：每個輸入 x 恰好給出一個輸出 y。我們常用函數記號寫 線性方程，f(x) = mx + b，於是 f(3) 表示「當 x 為 3 時的 y 值」。你已經熟悉的 斜截式 不過是把這個函數寫出來罷了。
f(x) = -3x + 10 f(0) = -3(0) + 10 = 10 point (0, 10) f(2) = -3(2) + 10 = 4 point (2, 4) f(5) = -3(5) + 10 = -5 point (5, -5) Each input x produces one output -> a function. The outputs fall by 3 per step -> slope -3.
正比例：最簡潔的直線
正比例 是 y 截距 為 0 的特殊情形，因此直線穿過 原點。我們寫成 y = kx，其中 k 是 比例常數——它恰好就是 斜率。x 翻倍，y 也翻倍；直線上每一點的 比值 y/x 都固定為 k。
- 識別正比例：關係能寫成 y = kx，沒有額外的常數項。
- 由一對已知的 (x, y) 相除求 k：k = y / x。
- 寫出規律 y = kx，再用它對任意新的 x 預測 y。
y varies directly with x, and y = 18 when x = 6. k = y / x = 18 / 6 = 3 rule: y = 3x Predict y when x = 10: y = 3(10) = 30 Check the ratio stays constant: 18/6 = 3 30/10 = 3 same k