點斜式、一般式與平行/垂直線

點斜式：從一個點建立直線

假設你知道直線上的一個點 (x1, y1) 和它的斜率 m。點斜式能直接寫出這條直線：y − y1 = m(x − x1)。它正是從斜率公式來的——斜率等於 (x, y) 與已知點之間的上升量比水平量——只是把分母乘掉了。

Line through (4, 1) with slope m = 2:

  y - y1 = m(x - x1)
  y - 1  = 2(x - 4)        point-slope form
  y - 1  = 2x - 8          distribute
  y      = 2x - 7          slope-intercept form

Check (4,1):  2(4) - 7 = 8 - 7 = 1   correct

把點和斜率代入點斜式，再化簡成 y = mx + b。

一般式：Ax + By = C

直線的一般式是 Ax + By = C，其中 A、B、C 通常取整數，且 A 不為負。它對 x 和 y 一視同仁，因此在處理方程組、快速讀取兩個截距時很整潔。任何直線都可以改寫成這種形式。

Convert y = (2/3)x - 4 to standard form:

  y = (2/3)x - 4
  3y = 2x - 12          multiply through by 3
  -2x + 3y = -12        move the x term left
  2x - 3y = 12          multiply by -1 so A >= 0

Standard form: 2x - 3y = 12   (A=2, B=-3, C=12)

去掉分數，把 x、y 收到一邊，讓首項係數非負。

用斜率判斷平行與垂直

平行線永不相交，原因很簡單：它們的斜率相等。垂直線以直角相交，它們的斜率互為負倒數——把分數倒過來再變號。用符號說，若一條斜率為 m，則垂直方向的斜率是它的負乘法逆元，即 −1/m，且兩個斜率之積為 −1。

Given line: y = (3/4)x + 1   (slope 3/4)

Parallel line through (8, 0):
  same slope 3/4
  y - 0 = (3/4)(x - 8)
  y = (3/4)x - 6

Perpendicular line through (8, 0):
  slope = negative reciprocal of 3/4 = -4/3
  y - 0 = (-4/3)(x - 8)
  y = (-4/3)x + 32/3

Check perpendicular: (3/4)(-4/3) = -1   right angle

平行保持斜率不變；垂直則把它倒過來再變號。斜率之積為 −1 即可確認。