斜率：用「上升量比水平量」衡量陡峭程度

斜率衡量什麼

想像你從左到右沿著一條直線行走。斜率回答一個問題：每橫向走一步，你上升或下降多少？ 它是一個比值——豎直變化與水平變化之比。我們用一句話來概括它：上升量比水平量，上升量是豎直變化，水平量是水平變化。

正斜率隨你向右移動而上升；負斜率則下降。絕對值越大，直線越陡。我們幾乎總是把斜率記作 m。

用兩點求斜率的公式

給我直線上任意兩點 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我就能算出斜率。上升量是兩個 y 值之差，水平量是兩個 x 值之差，按相同的順序相減：

         y2 - y1
    m = ---------
         x2 - x1

Example: line through (1, 2) and (4, 8)

         8 - 2     6
    m = ------- = ---- = 2
         4 - 1     3

Check by swapping the order of the points:

         2 - 8     -6
    m = ------- = ---- = 2     same answer
         1 - 4     -3

y 之差除以 x 之差，且順序一致。兩點同時調換順序，斜率不變。

零斜率與無定義斜率

有兩條特殊的直線會把公式推到極端。水平線永遠不上升，所以上升量是 0，斜率是 0。豎直線永遠不水平移動，所以水平量是 0——而除以 0 是無定義的，因此豎直線根本沒有斜率（我們說斜率無定義，而不是 0）。

Horizontal line through (1, 3) and (5, 3):
         3 - 3     0
    m = ------- = ---- = 0          slope is 0
         5 - 1     4

Vertical line through (2, 1) and (2, 7):
         7 - 1     6
    m = ------- = ----  -> divide by 0
         2 - 2     0               slope UNDEFINED

平的就是零斜率；直上直下就是無定義斜率。