Cartan 子代數與根空間分解
在 ℂ 上的半單 L 中，選一個 Cartan 子代數 H：極大的、交換的、由*半單*（可對角化）元素組成的子代數——一個極大環面。由於 H 的元素交換且可對角化，算子 ad(h)（h ∈ H）在 L 上*可同時*對角化。把 L 分解為它們的公共特徵子空間。每一塊上的特徵值是一個線性泛函 α ∈ H*，非零的那些就是根。
這給出根空間分解 L = H ⊕ (⊕_{α∈Φ} L_α)，其中 L_α = {x : 對一切 h ∈ H 有 [h,x]=α(h)x}，Φ ⊂ H* 是根的有限集。每個根空間 L_α 一維。括號尊重分級：[L_α, L_β] ⊆ L_{α+β}。於是整個代數由 H、根，以及這些加法移位規則重構出來——把一個可能很大的代數驚人地壓縮為有限的組合圖象。
sl(3,C): dim 8. H = diagonal traceless matrices, dim 2.
h = diag(a, b, c) with a+b+c = 0.
Root spaces: each off-diagonal E_ij (i != j) is a root vector.
[h, E_ij] = (h_i - h_j) E_ij, so the root is alpha_ij(h) = h_i - h_j.
Let L_i be the functional h -> h_i. Roots:
Phi = { L_i - L_j : i != j } = six roots in the 2-dim space H*.
Simple roots: alpha = L_1 - L_2 , beta = L_2 - L_3.
The six roots: +-alpha, +-beta, +-(alpha+beta).
Lengths/angles via the Killing form:
|alpha| = |beta|, angle(alpha,beta) = 120 degrees.
This is the root system A_2 : a regular hexagon.
Cartan integers (the matrix):
<alpha,beta> = 2(alpha,beta)/(beta,beta) = -1, <beta,alpha> = -1
Cartan matrix A_2 = [ 2, -1; -1, 2 ].
Dynkin diagram: two nodes joined by a single edge: o---o根系：整性與反射
把歐氏空間 E 中的 根系 Φ 抽象出來（內積來自 Killing 形式）。公理簡省卻兇猛：（1）Φ 有限、張成 E，且 0 ∉ Φ；（2）α ∈ Φ 的倍數中僅 ±α 為根；（3）過 α 的垂直超平面的反射 s_α 置換 Φ；（4）Cartan 整數 ⟨β,α⟩ = 2(β,α)/(α,α) 對一切 α,β ∈ Φ 為整數。公理（4）是秘密武器：一個連續幾何對象被強制落到整數格上。
Dynkin 圖與分類
選一組單根基 Δ ⊆ Φ：每個根都是它們的非負或非正整係數組合。把它們兩兩的 Cartan 整數記入 Cartan 矩陣，再畫出 Dynkin 圖：每個單根一個節點，α 與 β 之間連 ⟨α,β⟩⟨β,α⟩ ∈ {0,1,2,3} 條邊，長度不同時由長根指向短根加一個箭頭。根系的全部剛性都坍縮進這張小小的帶標記圖。
宏大定理：連通 Dynkin 圖被完全分類，每一個恰對應一個複 單李代數。名單是四個無窮族——A_n（sl(n+1)）、B_n（so(2n+1)）、C_n（sp(2n)）、D_n（so(2n)）——加五個例外 E_6、E_7、E_8、F_4、G_2。這就是複單李代數的全部宇宙。一個連續對稱的分類問題竟有完全離散、有限的答案；這是全部代數中最美的結果之一。