根基與半單的定義
每個有限維李代數 L 有唯一極大可解理想，即根基 rad(L)（兩個可解理想之和仍可解，故存在最大者）。定義 L 為 半單的，若 rad(L)=0——根本沒有非零可解理想。商 L/rad(L) 總是半單，因此除去可解的「噪聲」，每個李代數都歸結為一個半單代數。單李代數是非交換且除 0 與自身外無理想者；而半單恰好等於若干單理想的直和。
Killing 形式與 Cartan 判別法
Killing 形式 是 對稱雙線性形式 κ(x,y)=tr(ad(x)∘ad(y))。它僅由括號構造，且結合（不變）：κ([x,y],z)=κ(x,[y,z])。這一不變性迫使其根 {x:κ(x,·)=0} 成為理想。Cartan 判別法：L 半單當且僅當 κ 非退化。（伴隨判別法：L 可解當且僅當 κ(L,[L,L])=0。）於是單個雙線性形式就判定半單性——這是整個理論的計算核心。
Killing form of sl(2,C). Basis (h,e,f), [h,e]=2e, [h,f]=-2f, [e,f]=h.
Write ad(x) as a 3x3 matrix in the ordered basis (h,e,f).
ad(h): h->0, e->[h,e]=2e, f->[h,f]=-2f
ad(h) = [0, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, -2]
ad(e): h->[e,h]=-2e, e->[e,e]=0, f->[e,f]=h
ad(e) = [0, 0, 1; -2, 0, 0; 0, 0, 0]
ad(f): h->[f,h]=2f, e->[f,e]=-h, f->0
ad(f) = [0, -1, 0; 0, 0, 0; 2, 0, 0]
kappa(x,y) = tr( ad(x) ad(y) ):
kappa(h,h) = tr(ad(h)^2) = 0^2 + 2^2 + (-2)^2 = 8
kappa(e,f) = tr(ad(e) ad(f)):
ad(e)ad(f) = [0,0,1;-2,0,0;0,0,0][0,-1,0;0,0,0;2,0,0]
= [2, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 0], trace = 4
kappa(h,e)=kappa(h,f)=kappa(e,e)=kappa(f,f)=0.
Gram matrix in (h,e,f): [8, 0, 0; 0, 0, 4; 0, 4, 0]
det = 8 * ( 0*0 - 4*4 ) = 8 * (-16) = -128 != 0.
Nondegenerate ==> sl(2,C) is semisimple (indeed simple).非退化帶來的好處
- 分解：半單 L 是單理想的直和 L = L_1 ⊕ … ⊕ L_r，在 κ 下正交，且分解唯一。
- L = [L,L]：半單代數等於自身的導出代數，故無非零交換商。
- Weyl 定理：半單 L 的每個有限維表示都完全可約——不可約表示的直和。
- ad 單射：Z(L)=0，故 L 嵌入 gl(L)；每個導子都是內導子。半單代數是剛性的。
完全可約的陳述——表示的 完全可約性——是有限群 Maschke 定理 的對應，正是它讓我們能按最高權分類半單代數的*表示*。但在表示之前，我們需要 L 內部的一套座標。那套座標就是最後一篇的 Cartan 子代數與根系；非退化的 Killing 形式恰是使根成為真正幾何向量的內積。