兩條鏈：導出列與下中心列
定義導出列 L^{(0)}=L，L^{(1)}=[L,L]，L^{(k+1)}=[L^{(k)},L^{(k)}]。若它達到 0，則 L 是 可解的。定義下中心列 L^0=L，L^1=[L,L]，L^{k+1}=[L,L^k]。若*這條*達到 0，則 L 是 冪零的。由於 L^{(k)}⊆L^k，冪零 ⇒ 可解，反之不然。這正是 可解群 與 冪零群 的對應，括號取代了群換位子。
b = upper-triangular 2x2, basis: h=[1,0;0,0], h'=[0,0;0,1], e=[0,1;0,0]
(equivalently span of diagonal d=h, d'=h', and e).
Derived series of b:
[b,b] = span{ [d, e] } : [diag, e] is a multiple of e, [d,d']=0
so b^(1) = [b,b] = span{e} (1-dimensional, abelian)
b^(2) = [b^(1), b^(1)] = [span e, span e] = 0
--> derived series: b ⊃ <e> ⊃ 0. b is SOLVABLE.
Lower central series of b:
b^1 = [b,b] = span{e}
b^2 = [b, span e] = span{ [d,e], [d',e], [e,e] } = span{e} (NOT smaller!)
b^3 = [b, span e] = span{e} ... stabilizes at <e>, never 0.
--> b is NOT nilpotent.
Now n = strictly upper-triangular (just span{e}): [n,n]=0, abelian,
hence n is nilpotent (and solvable). Contrast: n nilpotent, b only solvable.Engel 定理
稱 x ∈ L 為 ad-冪零，若 ad(x) 是冪零算子。Engel 定理 說：有限維李代數 L 冪零當且僅當每個元素都 ad-冪零。一個方向容易；實質在逆命題。其尖銳形式（其餘皆由它推出）是關於線性李代數的陳述：若 L⊆gl(V) 由冪零算子組成且 V≠0，則存在非零 v ∈ V 被整個 L 零化（Lv=0）。迭代之，便得到一面完整的旗，其中 L 的每個元素都嚴格上三角。
Lie 定理與共同的找旗思想
Lie 定理 是可解情形的對應，它需要特徵 0 的代數閉域（取 ℂ）。它說：若 L⊆gl(V) 可解且 V≠0，則 L 有一個公共特徵向量——單個 v 使對一切 x ∈ L 有 x·v=λ(x)v，其中 λ:L→ℂ 線性（一個*權*）。沿旗迭代，每個 x ∈ L 同時上三角。於是在 ℂ 上，可解 = 可同時三角化，正如 Engel 給出冪零 = 可同時嚴格三角化。
- 兩個證明都對 dim L 歸納：剝下一個餘維 1 的理想 M（可解性/冪零性提供它）。
- 由歸納為 M 找到公共特徵向量（或被零化的向量）；收集特徵子空間 V_λ。
- 證明 V_λ 在剩餘方向 x∉M 下不變（Lie 的關鍵引理：λ([x,m])=0）；在 V_λ 上對角化 x 以延拓特徵向量。