子代數、理想，以及通往李群的橋樑

子代數與理想之別

子空間 M⊆L 若滿足 [M,M]⊆M 則為子代數，若滿足更強的 [L,M]⊆M 則為理想。這一區別恰是子群與正規子群之別的對應：理想在與*一切*作括號下封閉，正如正規子群在被一切共軛下封閉。並且與群一樣，恰當 M 是理想時才能構造商 L/M，其括號為 [x+M,y+M]=[x,y]+M。

總是存在的三個理想：中心 Z(L)={x:對一切 y 有 [x,y]=0}（ad 的核）；導出代數 [L,L]，由所有括號張成，是換位子群的對應；以及 L 自身與 0。同態 φ:L→L′ 的核是理想、像是子代數，同構定理逐字成立：L/ker φ ≅ im φ，等等。若你熟悉群的版本，你已經懂這些了。

Example: the upper-triangular and strictly-upper-triangular subalgebras of gl(3).

b = { upper triangular } = span of E_11, E_22, E_33, E_12, E_13, E_23
n = { strictly upper triangular } = span of E_12, E_13, E_23

Is n an ideal of b?  Check [b, n] subset of n.
  Recall [E_ij, E_kl] = delta_jk E_il - delta_li E_kj.
  [E_11, E_12] = E_12 - 0 = E_12   (in n)
  [E_22, E_12] = 0 - E_12 = -E_12  (in n)
  [E_12, E_23] = E_13 ,  [E_13, anything in n] = 0 here
Every bracket [diagonal or upper, strictly upper] lands in n. So n is an ideal of b.

Quotient b/n:  brackets of diagonal parts vanish mod n, so
  b/n  is abelian, dim 3 (the diagonal h).
Meanwhile [b,b] = n exactly:  the derived algebra of b is n.

n（嚴格上三角）是 b（上三角）的理想；商 b/n 是交換的對角部分。這是最小的非平凡旗象。

通往李群的橋樑

下面這幅圖給整個學科命名。李群 G 是一個同時是光滑流形的群，其乘法與求逆都光滑——想想 GL(n,ℝ)、SO(3)、么正群 U(n)。它的李代數是單位元處的切空間 L=T_eG，配有一個括號。這個括號並非任意：它是*無窮小換位子*。取兩個接近單位元的元素，作共軛並展開到二階，領頭的非交換項恰好是 [X,Y]。

每個 X∈L 給出 G 中的一個單參數子群 t↦exp(tX)；矩陣指數 exp(X)=I+X+X²/2+… 是原型。
G 中的共軛微分給出 G 在 L 上的伴隨表示 Ad；再對 Ad 微分得到 ad，且 ad(X)(Y)=[X,Y]。
Baker–Campbell–Hausdorff 公式 exp(X)exp(Y)=exp(X+Y+½[X,Y]+…) 僅憑括號數據重組出群乘積。