括號從何而來
取任意一個結合代數——比如域上的 n×n 矩陣——問問兩個元素有多不交換。這個度量就是換位子 [x,y]=xy−yx。把原來的乘法丟掉，只保留這個括號：剩下的就是一個 李代數。要點在於，括號忘掉了乘法中依賴次序的部分，恰好保留了連續群所攜帶的無窮小對稱。
形式地說，域 k 上的李代數是一個向量空間 L，配有一個 雙線性映射 [·,·]:L×L→L，即 李括號，它反對稱（[x,x]=0，故 [x,y]=−[y,x]），並滿足 Jacobi 恆等式 [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0。注意*沒有*要求什麼：不要求結合律，不要求單位元。Jacobi 恆等式正是結合律投射到括號上的影子。
結構常數與例子 sl(2)
一旦固定一組基 e_1,…,e_n，括號就由 結構常數 c_{ij}^k 決定，定義為 [e_i,e_j]=Σ_k c_{ij}^k e_k。反對稱性給出 c_{ij}^k=−c_{ji}^k；Jacobi 恆等式成為 c 之間的一個二次關係。有限維李代數的一切原則上都編碼在這張數表裡——不過我們將看到，*有用*的不變量遠比原始數表經濟得多。
sl(2,C): traceless 2x2 complex matrices, dim 3.
Basis:
e = [0, 1; 0, 0] h = [1, 0; 0, -1] f = [0, 0; 1, 0]
Compute the bracket [x,y] = xy - yx directly:
[h,e] = h e - e h
= [0, 2; 0, 0] - [0, -2; 0, 0] = [0, 4; 0, 0]? -- recompute
h e = [1,0;0,-1][0,1;0,0] = [0, 1; 0, 0]
e h = [0,1;0,0][1,0;0,-1] = [0, -1; 0, 0]
[h,e] = [0,1;0,0] - [0,-1;0,0] = [0, 2; 0, 0] = 2e
[h,f] = h f - f h = [0,0;-1,0] - [0,0;1,0] = -2f
[e,f] = e f - f e = [1,0;0,0] - [0,0;0,1] = [1,0;0,-1] = h
Structure constants (the whole table):
[h,e] = 2e , [h,f] = -2f , [e,f] = h
(all others fixed by antisymmetry, e.g. [e,h] = -2e)
Check Jacobi on (e,f,h):
[e,[f,h]] + [f,[h,e]] + [h,[e,f]]
= [e, 2f] + [f, 2e] + [h, h]
= 2[e,f] + 2[f,e] + 0 = 2h - 2h + 0 = 0. OK.貫穿始終的有三個族：所有 n×n 矩陣配換位子構成的一般線性代數 gl(n,k)；無跡矩陣構成的特殊線性代數 sl(n,k)（一個 理想，因為總有 tr[x,y]=0）；以及反對稱矩陣構成的正交代數 so(n)。這些是*經典*李代數，而本軌道末尾的分類本質上就是說：在 ℂ 上，它們（連同辛族與五個例外）就是全部單李代數。
伴隨表示：李代數作用在自身上
固定 x∈L，考慮映射 ad(x):L→L，ad(x)(y)=[x,y]。這就是 伴隨表示，它是整個學科的引擎。把 Jacobi 恆等式正確地讀出來，恰好是說 ad(x) 是括號的一個導子：ad(x)[y,z]=[ad(x)y,z]+[y,ad(x)z]。它還說明 x↦ad(x) 是到 gl(L) 的李代數 同態，即 ad([x,y])=ad(x)ad(y)−ad(y)ad(x)。