公式、應用題與解集

變形字母方程式

字母方程式含有多個字母，例如一個公式。變形公式意味著求解某一個選定的字母，而把其餘字母當作已知常數對待。所用的操作與普通求解完全相同——逆運算、兩邊同時——只是你攜帶的是字母而非數字，並在目標字母單獨留下時停手。

Solve the area formula   A = (1/2) b h   for h.

Multiply both sides by 2:
  2A = b h
Divide both sides by b:
  2A / b = h

So  h = 2A / b.
Check the logic: if A = 10 and b = 4, then h = 20/4 = 5,
and (1/2)(4)(5) = 10 = A.  Consistent.

把 A 和 b 當作已知；用同樣的逆運算孤立 h。

翻譯應用題

應用題靠翻譯來解，而非靠魔法。用一個字母給未知量命名，把文字描述的關係寫成方程式，求解它，然後把答案翻譯回原來的單位，並對照題意檢驗。

讀懂問題，確定未知量到底是什麼；給它命名（設 x = …）。
把每個關係翻譯成代數：「是」變成 =，「多……」變成 +，「的」常變成 ×。
透過孤立變數求解方程式。
結合情境解釋這個數，並檢查它是否回答了真正的問題。

Word problem: A shirt costs $8 more than twice the price of a cap.
Together they cost $50. Find the price of the cap.

Let c = price of the cap (in dollars).
Shirt = 2c + 8.
Together:  c + (2c + 8) = 50
           3c + 8 = 50
           3c = 42
           c = 14

Cap = $14, shirt = 2(14) + 8 = $36, and 14 + 36 = 50.  Story checks out.

命名未知量、翻譯、求解，再用「元」來解釋。

恆等式、矛盾式與乾淨的答案

並非每個一次方程式都恰好有一個解。如果求解過程中變數消去、只剩下一個恆成立的式子（如 5 = 5），這個方程式就是恆等式，每個數都是解。如果剩下的是恆不成立的式子（如 5 = 8），它就是矛盾式，無解。這兩種結果都是誠實的答案，而非錯誤——認出它們能讓你不去追逐一個根本不存在的 x。

Identity:   2(x + 3) = 2x + 6
  2x + 6 = 2x + 6  ->  0 = 0  (always true)
  Solution set: all real numbers,  (-infinity, infinity).

Contradiction:  x + 1 = x + 4
  1 = 4  (never true)
  Solution set: empty set,  no solution.

當 x 消失時：恆真表示全體實數；恆假表示無解。