不等式：一次、複合與絕對值

求解一次不等式

一次不等式用不等號（<、>、≤ 或 ≥）代替等號，所以它的解集通常是一整段數的範圍，而不是單一取值。你用與方程式完全相同的平衡步驟來解它，但有一個關鍵例外：兩邊同時乘以或除以負數時，要翻轉不等號。加、減以及乘除正數都不改變不等號方向。

Solve   -2x + 1 < 9

Subtract 1 from both sides (symbol unchanged):
  -2x < 8
Divide both sides by -2  ->  FLIP the symbol:
  x > -4

Solution set: all x greater than -4.
Interval notation: (-4, infinity).
Quick test x = 0: -2(0) + 1 = 1 < 9  TRUE, and 0 > -4. Consistent.

除以 -2 時，< 翻轉為 >。

複合不等式：且 / 或

複合不等式把兩個條件連在一起。像 -1 ≤ 2x + 3 < 7 這樣的且型必須同時滿足兩個條件；解法是對三部分同時做同樣的運算。而像 x < -2 或 x > 5 這樣的或型，只要任一部分成立即可，其解由兩段分開的區間組成。

Solve   -1 <= 2x + 3 < 7   (an 'and')

Subtract 3 from all three parts:
  -4 <= 2x < 4
Divide all three parts by 2 (positive, no flip):
  -2 <= x < 2

Solution set: all x with -2 <= x < 2.
Interval notation: [-2, 2).

對「且」型不等式的三個部分同時做每一步。

絕對值不等式

由於絕對值度量到零的距離，絕對值不等式會化成複合不等式。小於意味著「離零近」，是且型：|x| < 5 化成 -5 < x < 5。大於意味著「離零遠」，是或型：|x| > 5 化成 x < -5 或 x > 5。一個好記的口訣是「小於配且，大於配或」。

Solve   |2x - 1| <= 7   (less-than -> 'and')

Rewrite as a double inequality:
  -7 <= 2x - 1 <= 7
Add 1 to all parts:
  -6 <= 2x <= 8
Divide all parts by 2:
  -3 <= x <= 4

Interval notation: [-3, 4].

「小於」型絕對值展開成一條「且」型連不等式。