初等矩陣暗中滿足哪些關係？
第 2 篇裡我們用到了 Steinberg 關係——初等矩陣 e_ij(r) 顯然滿足的恒等式。現在把問題反過來。寫下由符號 x_ij(r) 生成、僅服從那些顯然關係的抽象群 St(R)，再經 x_ij(r) ↦ e_ij(r) 把它映滿到 E(R)。倘若顯然關係就是全部關係，此映射便是同構。K_2 恰是其失敗：K_2(R) = ker(St(R) → E(R))。它是行變換之間暗藏關係的群。
Steinberg group St(R): generators x_ij(r), i != j, r in R, relations
(S1) x_ij(r) x_ij(s) = x_ij(r+s)
(S2) [ x_ij(r), x_kl(s) ] = 1 if j != k and i != l
(S3) [ x_ij(r), x_jk(s) ] = x_ik(rs) if i != k
There is a surjection phi: St(R) -> E(R), x_ij(r) |-> e_ij(r).
Definition: K_2(R) := ker( phi ) = ker( St(R) -> E(R) ).
Key structural fact (Milnor):
1 -> K_2(R) -> St(R) -> E(R) -> 1
is a CENTRAL extension, and in fact the UNIVERSAL central extension
of the perfect group E(R). Hence
K_2(R) = center of St(R) = H_2(E(R); Z),
the Schur multiplier of E(R).可以親手計算的 Steinberg 符號
在你手上握有一個元素之前，K_2 都是抽象的。對域 k，K_2(k) 中每個類都由 Steinberg 符號 {u, v} 構造，對單位 u, v ∈ k^× 有定義。它們是雙線性的，並滿足一條令人矚目的額外關係，正是它賦予理論以風味。
Steinberg symbol {u, v} in K_2(k), for u, v in k^x. Rules:
(bi-1) {u u', v} = {u, v}{u', v}
(bi-2) {u, v v'} = {u, v}{u, v'}
(STEINBERG) {u, 1 - u} = 1 whenever u != 0, 1.
Consequences you can derive in two lines:
* {u, -u} = 1. (since -u = (1-u)/(1-u^{-1}), then expand)
* {u, v} = {v, u}^{-1} (skew-symmetry)
* {u, u} = {u, -1} (a 2-torsion-flavored identity)
Matsumoto's theorem: for a field k,
K_2(k) = (k^x (x) k^x) / < u (x) (1-u) >,
the free thing on symbols modulo exactly the Steinberg relation.
Worked value: K_2(F_q) = 0 for every finite field F_q
(every symbol is trivial because k^x is cyclic and the relation bites).關係 {u, 1 − u} = 1 應當顯得詭異：它是 Steinberg 關係的 K 理論化身，而且驚人地，同一套代數掌控著雙對數、數論中的 tame 符號以及 Hilbert 符號。僅把這些規則推廣到所有次數，便得到 Milnor K 理論 K^M_n(k) = (k^×)^⊗n 模去 Steinberg 關係——一種親力親為的理論，憑 Bloch–Kato 定理它計算 Galois 上同調。
Quillen 躍向全體高階 K
我們現在通過三種臨時構造得到了 K_0、K_1、K_2。歸功於 Quillen 的奇蹟是：它們——連同無窮多個高階 K 群 K_n——都來自單一的空間。取分類空間 BGL(R)，它連通但有錯誤的、非阿貝爾的基本群。加號構造在不改變同調的前提下手術式地殺掉完全子群 E(R) ⊆ π_1，造出空間 BGL(R)^+。對 n ≥ 1 定義 K_n(R) = π_n(BGL(R)^+)。
- 驗證新定義重現舊定義：π_1(BGL^+) = GL/E = K_1，且 π_2(BGL^+) = H_2(E) = K_2。一致性成立。
- 於是對所有 n ≥ 1，K_n 不過是一個高階同倫群——自動阿貝爾，因為空間的 π_n 當 n ≥ 2 時是阿貝爾的。
- 第 3 篇的局部化序列如今是同倫群的真正長正合列，永遠向上延伸。
Quillen 隨即算出了有限域的 K 理論：對 i ≥ 1，K_{2i-1}(F_q) ≅ Z/(q^i − 1) 且 K_{2i}(F_q) = 0。一個純代數的環竟有像空間同倫群那樣編號的 K 群——而且可計算——這正是全部要點。Z 的高階 K 群至今尚未全部知曉；計算它們與深刻的數論糾纏在一起，而那正是第 5 篇的去向。