把一般線性群穩定化
K_0 由模構造；K_1 則由它們的自同構構造——也就是由可逆矩陣構造。作 GL(n, R)，並經 A ↦ 分塊矩陣 [A, 0; 0, 1] 嵌入 GL(n, R) ↪ GL(n+1, R)。所有這些的併就是穩定一般線性群 GL(R) = colim GL(n, R)。穩定化丟棄了「某個特定尺寸」的偶然性，只保留在所有大矩陣中都存活的東西——與從自由過渡到穩定自由是同一種直覺。
在 GL(n, R) 內坐著初等矩陣 e_ij(r) = I + r·E_ij，即在 (i, j)（i ≠ j）位放一個非對角元 r 的單位陣。它們恰是執行一次行變換的矩陣。它們（穩定地）生成的子群是 E(R) ⊆ GL(R)。於是定義短得令人不安：K_1(R) = GL(R) / E(R)。
Whitehead 引理
為何 K_1 = GL/E 是合理的——尤其，為何它是阿貝爾的？因為 E(R) 恰好就是 GL(R) 的換位子群。這就是 Whitehead 引理，K_1 的技術核心，而它依賴於一條你可以手算驗證的乾淨矩陣恒等式。
Two facts give E(R) = [GL(R), GL(R)].
(1) Elementary matrices are commutators (n >= 3).
For distinct i, j, k the Steinberg relation says
[ e_ik(r), e_kj(1) ] = e_ij(r).
So each generator of E is a commutator => E <= [GL, GL].
(2) Every commutator is elementary, stably. For g in GL(n, R),
the 2n x 2n block matrix
[ g, 0 ; 0, g^{-1} ]
lies in E(R), because
[ g, 0 ; 0, g^{-1} ]
= [ I, g ; 0, I ] [ I, 0 ; -g^{-1}, I ] [ I, g ; 0, I ] [ 0, -I ; I, 0 ],
and each factor is a product of elementary matrices.
Apply this to a commutator [a,b]: the block-diagonal
[ [a,b], 0 ; 0, I ] = [ [a,b], 0 ; 0, [a,b]^{-1} ] * [ I, 0 ; 0, [a,b] ]
is elementary => [GL, GL] <= E.
Hence E(R) = [GL(R), GL(R)], so
K_1(R) = GL(R) / E(R) = GL(R)^{ab} (abelianization).還原行列式
現在是回報。行列式 det: GL(n, R) → R^× 是同態，它在行變換下不變，故殺死 E(R)，並且它穩定（[A, 0; 0, 1] 的行列式等於 det A）。於是 det 降到映射 K_1(R) → R^×。在域上，此映射是同構：K_1(域 k) ≅ k^×。所以行列式一直就是 K_1——可逆矩陣在穩定化後存活下來的那個萬有不變量。
對更一般的環，det: K_1(R) → R^× 仍是滿射（1×1 矩陣 [u] 的行列式為 u），其核 SK_1(R) 才是真正有趣、困難的部分。對歐幾里得整環 SK_1 消失，K_1 ≅ R^×；對數域的整數環它也消失，這是 Bass–Milnor–Serre 的定理。群環的 Whitehead 群，即 K_1(Z[G]) 模去平凡單位，正是拓撲學家用來判定一個同倫等價何時是真正形變的工具。