從么半群到群
這是 K 理論反覆要解決的問題。你手上有一族對象，它們能相加（直和）卻不能相減，而你想要一個群。對交換環 R，取有限生成射影模的同構類集合。在直和之下這是一個交換么半群：滿足結合律，以零模為單位元，但沒有逆元——你無法把一個模「減回去」。Grothendieck 群 K_0(R) 正是通過形式地添上逆元而得到的萬有群，恰如 Z 由自然數在加法下構造而來。
具體地說，K_0(R) 的元素是射影模的形式差 [P] − [Q]，並遵守 [P ⊕ Q] = [P] + [Q]。兩個這樣的差相等，當且僅當它們在加上一個公共模之後一致——這正是讓 3 − 5 與 1 − 3 表示同一個整數的那個把戲。
萬有性質，精確陳述
這一構造受一條乾淨的萬有性質支配。設 (M, +) 是交換么半群。則存在一個阿貝爾群 K(M) 及么半群映射 M → K(M)，使得任何到阿貝爾群 A 的么半群映射 M → A 都唯一地經它分解。這使 K(M) 在同構意義下唯一，於是我們永遠不必糾結選了哪種構造——這是本學科中反覆出現的安慰。
- 構造對 (a, b) ∈ M × M，把 (a, b) 想成形式差 a − b。
- 規定 (a, b) ∼ (c, d) 當存在 e ∈ M 使 a + d + e = b + c + e（多出的 e 吸收不可消去的元素）。
- 按分量相加；商掉 ∼ 即得 K(M)，其中 −(a, b) = (b, a)。
Example: R = field k (or any PID, e.g. Z).
Every finitely generated projective module over a field is free,
so it is just k^n, determined by its rank n >= 0.
Monoid of iso-classes: {0, k, k^2, k^3, ...} = (N, +) via n <-> k^n.
[k^m] + [k^n] = [k^(m+n)] matches m + n.
Grothendieck group of (N, +) is (Z, +).
The map [P] |-> rank(P) is an isomorphism
K_0(k) ~= Z , and likewise K_0(Z) ~= Z.
The class [k^n] goes to n; the formal difference [k^a] - [k^b] goes to a - b.穩定自由，與第一個意外
在 K_0 中，我們至多只能在「相差自由部分」的意義下辨認模。稱射影模 P 為穩定自由，若存在 m, n 使 P ⊕ R^m ≅ R^n。這樣的 P 在 K_0 中給出 [P] = n − m——與真正自由模相同的類。所以 K_0 看不出穩定自由與自由之間的差別；而這一差別正是下一個不變量 K_1 將開始察覺的。
對你最先遇到的多數環——域、Z、任意主理想整環——K_0 就是 Z，約化部分 K̃_0 = K_0 / Z 消失。只有當射影模可以不自由時，這個不變量才真正活起來。最乾淨的例子是數域的整數環：那裡 K̃_0(O_K) 正是理想類群，我們將在第 5 篇回到這個美麗的巧合。