對偶互換乘法與餘乘法
設 H 是有限維 Hopf 代數，H* = Hom(H, k) 是其對偶空間。對偶化每支結構映射並利用 (H⊗H)* ≅ H*⊗H*，把 H* 變成 Hopf 代數。H* 上的乘法是 Δ 的轉置：(φ·ψ)(h) = (φ⊗ψ)(Δh) = φ(h₍₁₎)ψ(h₍₂₎)——注意這恰是 φ 與 ψ 到 k 的卷積。H* 上的餘乘法是 m 的轉置。H* 的餘單位是在 1 處取值；單位是 ε；對極是 S*。一句話：對偶 Hopf 代數就是把 m 與 Δ 的角色對調後的同一組資料。
把有限群看兩遍
取 G 有限。其群代數 k[G] 是以類群元為基的 Hopf 代數。其對偶是 O(G)，即 G 上取值於 k 的函數代數（逐點乘法），以指示函數的對偶基 {δ_g} 為基。看角色如何互換。在 k[G] 中乘積是群法則 g·h；對偶化後，O(G) 上的餘乘法是 Δ(δ_x) = Σ_{g h = x} δ_g ⊗ δ_h——它記住了群法則。同時 O(G) 中的乘積是逐點的，δ_g δ_h = δ_{g,h} δ_g，對偶化為 k[G] 的類群 Δ(g)=g⊗g。群法則與對角線交換了位置。
G = Z/3Z = {0, 1, 2}, additive group. Two dual Hopf algebras.
(1) Group algebra k[G], basis e_0, e_1, e_2 (grouplike):
e_i . e_j = e_{i+j mod 3} (twisted convolution product)
Delta(e_i) = e_i (x) e_i, eps(e_i) = 1, S(e_i) = e_{-i}.
(2) Functions O(G), basis d_0, d_1, d_2 (indicator functions):
d_i . d_j = delta_{ij} d_i (pointwise product, idempotents)
Delta(d_k) = sum_{i+j = k mod 3} d_i (x) d_j, eps(d_k)=delta_{k,0},
S(d_k) = d_{-k}.
Pairing <d_i, e_j> = delta_{ij} identifies O(G) = k[G]*.
Check the swap once: the product e_1 . e_1 = e_2 in k[G]
corresponds, under transpose, to the coefficient of d_1 (x) d_1
in Delta(d_2) -- and indeed 1+1 = 2, so d_1 (x) d_1 appears. Consistent.
Note: for abelian G these two Hopf algebras are isomorphic via the
characters (Pontryagin / Fourier duality). For nonabelian G they differ:
k[G] is cocommutative but noncommutative; O(G) is commutative but not
cocommutative.餘模：把作用對偶化
也把模的概念對偶化。餘代數 C 上的右餘模是配有餘作用 ρ: V → V⊗C 的向量空間，滿足鏡像於模公理的餘結合律與餘單位條件。在 O(G) 上，餘模就是 G-分次向量空間；在 k[G] 上，餘模就是表示。故模／餘模對偶把 G 的表示與 G-分次互換——具體、有用，並且是末篇中量子群餘模如何編碼辮結構的模板。