Hopf 代數與對極

定義方程

Hopf 代數是配有線性映射 S: H → H 的雙代數，S 稱為對極，滿足一條方程。回憶上一篇：End(H) 在卷積 * 下是代數，單位為 u∘ε。對極公理就是說 S 是恆等映射的雙側 *-逆：S * id = id * S = u∘ε。用 Sweedler 記號寫作 S(h₍₁₎) h₍₂₎ = ε(h) 1 = h₍₁₎ S(h₍₂₎)。這就是全部定義——一條短方程，卻異常有力。

在兩個例子上計算 S

在群代數 k[G] 上，每個 g 是類群元，Δ(g) = g⊗g，ε(g)=1。對極公理 S(g)·g = ε(g)1 = 1 強制 S(g) = g⁻¹。對極字面上就是群求逆，再線性延拓。這是把對極視為廣義逆的最乾淨理由。在李代數 g 的泛包絡代數 U(g) 上，生成元 x∈g 是本原的：Δ(x) = x⊗1 + 1⊗x，ε(x)=0。公理此時給出 S(x) = −x：在本原元上對極是取負，是把單參數子群 exp(tx) 反演為 exp(−tx) 的代數影子。

Antipode on a primitive element x:  Delta(x) = x (x) 1 + 1 (x) x,  eps(x)=0.

Demand  S(x_(1)) x_(2) = eps(x) 1 = 0.
Expand the left side over the two Sweedler terms of Delta(x):
  S(x).1 + S(1).x = 0.
Since S(1) = 1 (antipode fixes the unit), this is
  S(x) + x = 0   =>   S(x) = -x.   QED.

Antipode is an ANTI-homomorphism:  S(ab) = S(b) S(a).
Check on U(g) with primitives x, y:
  S(xy) should equal S(y)S(x) = (-y)(-x) = yx.
  Also S(yx) = S(x)S(y) = xy.
  Difference:  S(xy) - S(yx) = yx - xy = -[x,y] ... wait, recompute:
     S(xy - yx) = S([x,y]).  Since [x,y] is primitive,
     S([x,y]) = -[x,y] = -(xy - yx) = yx - xy. Consistent. OK.

So S reverses order, matching (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} in groups.

類群元上 S(g)=g⁻¹，本原元上 S(x)=−x，一般地 S(ab)=S(b)S(a)。

自動落下的性質

從這一條公理出發，用乾淨的卷積論證可推出 S 是代數反同態——S(ab) = S(b)S(a)，S(1) = 1——且是餘代數反同態。次序反轉對應 (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹。要誠實面對一個微妙處：S 未必是自身的逆。在交換或餘交換 Hopf 代數中 S² = id，但一般地——尤其在第 5 篇的量子群中——S² 是非平凡的自同構。S² = id 的失效，是量子群並非偽裝的群的最初信號之一。