相容性意味著什麼
雙代數是一個向量空間 B，它既是代數 (m, u) 又是餘代數 (Δ, ε)，且兩種結構相容。陳述相容性有兩種等價方式，值得看清它們重合。版本 A：Δ: B → B⊗B 與 ε: B → k 是代數同態（其中 B⊗B 帶張量積代數結構）。版本 B：m: B⊗B → B 與 u: k → B 是餘代數同態。對稱性正是要點——乘法與餘乘法地位平等。
在元素上展開版本 A：Δ(ab) = Δ(a)Δ(b)，右邊的乘積取在 B⊗B 中，即 (a₍₁₎⊗a₍₂₎)(b₍₁₎⊗b₍₂₎) = a₍₁₎b₍₁₎ ⊗ a₍₂₎b₍₂₎。此外 Δ(1) = 1⊗1，ε(ab) = ε(a)ε(b)，且 ε(1) = 1。這就是全部定義。後面的一切——對極、量子群——都活在雙代數之內。
為何這是正確的公理
表示論解釋了這一選擇。若 B = k[G]，而 V、W 是模——即表示——它們的張量積 V⊗W 經由 g·(v⊗w) = gv⊗gw 仍是一個表示。仔細看：這條公式恰是 Δ(g) = g⊗g 在作用。餘乘法告訴你單一元素如何作用在表示的張量積上。相容性（Δ 是同態）正是使 V⊗W 成為 B-模而非僅僅 B⊗B-模的條件。餘單位給出平凡的一維表示。故雙代數恰是使 B 的模範疇成為張量範疇的結構。
卷積乘積
一個雙代數 C（這裡只需餘代數那一面）連同任意代數 A，一起把線性映射空間 Hom(C, A) 變成一個代數。給定 f, g: C → A，定義它們的卷積乘積為 (f * g)(c) = m_A(f⊗g)Δ(c) = Σ f(c₍₁₎) g(c₍₂₎)。餘結合律使 * 結合；其單位是 u_A ∘ ε，即映射 c ↦ ε(c)1_A。這一構造是下一篇的引擎：對極將被定義為恆等映射的卷積逆。
Convolution on End(C) = Hom(C, C), with C a bialgebra.
Product: (f * g)(c) = f(c_(1)) . g(c_(2)) (sum over Sweedler indices)
Unit: e(c) = eps(c) 1_C
Associativity, checked by coassociativity:
((f * g) * h)(c)
= (f * g)(c_(1)) . h(c_(2))
= f(c_(1)) g(c_(2)) h(c_(3)) [coassoc: regroup the three legs]
= f(c_(1)) . (g * h)(c_(2))
= (f * (g * h))(c).
Unit law:
(e * f)(c) = e(c_(1)) f(c_(2)) = eps(c_(1)) 1 . f(c_(2))
= f( eps(c_(1)) c_(2) ) = f(c). [counit axiom]
So (End(C), *, e) is a genuine associative unital algebra.
Next guide: an antipode S is the *-inverse of id, i.e. S * id = id * S = e.