把乘法畫成一支映射
從你熟悉的地方出發。域 k 上的結合代數是一個向量空間 A，配上一個 k-線性的乘法。讓一切可以對偶化的訣竅，是把乘法不記作二元運算 a·b，而記作從張量積出發的單一線性映射 m: A⊗A → A——這正是張量積的泛性質所允許的，因為乘法是雙線性的。單位元 1 成為一支映射 u: k → A，把純量 1 送到 1∈A。結合律與單位律現在是線性映射的交換圖表，而非元素之間的等式。
結合律說，給三重積加括號的兩種方式一致：作為映射 A⊗A⊗A → A，有 m∘(m⊗id) = m∘(id⊗m)。單位律說，在認同 k⊗A ≅ A ≅ A⊗k 之後，m∘(u⊗id) = id = m∘(id⊗u)。目前沒有新東西——但這樣書寫意味著每個符號都能被鏡像反射。
把每支箭頭都翻轉
把 m 與 u 反向，得到的就是餘代數。餘乘法是線性映射 Δ: C → C⊗C；餘單位是 ε: C → k。兩條公理是代數公理的鏡像。餘結合律：作為映射 C → C⊗C⊗C，有 (Δ⊗id)∘Δ = (id⊗Δ)∘Δ。餘單位律：(ε⊗id)∘Δ = id = (id⊗ε)∘Δ。照字面讀，餘乘法把一個元素散布為若干張量對之和，而餘單位是把某個張量分量塌回純量的方式。
要記住的兩個例子
其一，有限群 G 的群代數 k[G]。作為代數它就是熟悉的群代數。作為餘代數，在每個基元 g∈G 上定義 Δ(g) = g⊗g 與 ε(g) = 1，再線性延拓。餘結合律立即成立：兩邊都給出 g⊗g⊗g。這樣的 g 稱為類群元——它餘乘成自身的完美複本。其二，函數空間餘代數：有限維代數的線性對偶自動是餘代數，因為對偶化 m: A⊗A → A 給出映射 A* → (A⊗A)* ≅ A*⊗A*。對偶空間正是這兩種結構交換位置之處。
Coassociativity check for the group algebra k[G].
Basis: the elements g in G. Define on basis vectors
Delta(g) = g (x) g, eps(g) = 1,
and extend k-linearly.
Left branch: (Delta (x) id) Delta(g)
= (Delta (x) id)(g (x) g)
= Delta(g) (x) g
= (g (x) g) (x) g
= g (x) g (x) g.
Right branch: (id (x) Delta) Delta(g)
= (id (x) Delta)(g (x) g)
= g (x) Delta(g)
= g (x) (g (x) g)
= g (x) g (x) g.
Equal. So coassociativity holds on a basis, hence everywhere.
Counit: (eps (x) id) Delta(g) = eps(g) g = 1.g = g. OK.
(id (x) eps) Delta(g) = g . eps(g) = g. OK.
Contrast: a *primitive* element x would have
Delta(x) = x (x) 1 + 1 (x) x, eps(x) = 0,
the coalgebra shadow of the Leibniz rule. We meet these in Guide 3.