從複形的短正合列到同調中的長正合列
設 0 → A_• → B_• → C_• → 0 是鏈複形的短正合列——逐度正合。則同調並非簡單地各自分裂；相反，蛇形引理逐度施用，把各同調編織成一條長正合列。我們在第 2 篇親手造出的同一個連接同態 δ，正是把你從 C 的第 n 度落到 A 的第 n−1 度的那一步。
Short exact sequence of complexes: 0 -> A. -> B. -> C. -> 0
Long exact sequence in homology (runs forever both ways):
... -> H_n(A) -> H_n(B) -> H_n(C) --d--> H_{n-1}(A) -> H_{n-1}(B) -> ...
Where d (the connecting map) is the snake's bite applied in each degree.
Derived-functor version (the LES of Ext):
for a short exact sequence 0 -> A -> B -> C -> 0 of modules,
0 -> Hom(C,N) -> Hom(B,N) -> Hom(A,N)
--d--> Ext^1(C,N) -> Ext^1(B,N) -> Ext^1(A,N)
--d--> Ext^2(C,N) -> ...
The connecting map d repairs exactly the surjectivity that Hom(-,N) lost.
Tor has the dual LES, with Tor_n decreasing in degree.使用長正合列
LES 化為算術。取 0 → ℤ →(×2) ℤ → ℤ/2 → 0，施 – ⊗ ℤ/2 得 Tor 長正合列。因 ℤ 是平坦的，其全部高階 Tor 消失，這迫使連接映射並乾淨地釘死 Tor_1(ℤ/2, ℤ/2)。
0 -> Z --x2--> Z -> Z/2 -> 0, apply -(x)Z/2. Tor LES:
Tor_1(Z,Z/2) -> Tor_1(Z/2,Z/2) --d--> Z(x)Z/2 --x2--> Z(x)Z/2 -> Z/2(x)Z/2 -> 0
|| || || ||
0 (Z flat) Z/2 --0--> Z/2 Z/2
The map 'x2' on Z(x)Z/2 = Z/2 is multiplication by 2 = 0.
Exactness then gives:
Tor_0(Z/2,Z/2) = Z/2 (x) Z/2 = Z/2,
and Tor_1(Z/2,Z/2) = ker(x2 = 0 map) = Z/2.
Matches gcd(2,2)=2 from guide 4. Z/2 is NOT flat: it has torsion,
and Tor_1 is exactly the witness.理論的家園，以及接下來是什麼
本軌中的一切——核、餘核、正合列、蛇——只需要一個讓這些概念有意義的場所。那個場所就是阿貝爾範疇：一個帶零對象、具備全部核與餘核、且每個單態是核、每個滿態是餘核的範疇。環上的模構成其一；層亦然，而正是這種一般性使蛇形引理的同一份證明同時服務於拓撲、幾何與數論。
由此通向兩扇門。特殊化：群上不動點函子的導出函子給出群上同調，伽羅瓦群上的則給出伽羅瓦上同調與希爾伯特定理 90。一般化：當一個雙複形抗拒直接計算時，譜序列把它的同調組織成逐次逼近——這是繼長正合列之後的下一件正經工具，也是本軌自然的續篇。