導出函子：Ext 與 Tor 的計算

為何需要導出函子

把 Hom(–, N) 施於短正合列 0 → A → B → C → 0，只得到 0 → Hom(C,N) → Hom(B,N) → Hom(A,N)，右端未必滿：Hom(–, N) 是左正合但非右正合。張量張量積 – ⊗ N 右正合但非左正合。兩者各丟失資訊，而導出函子恰是記錄所失之物的機器。

取模 M，構造投射分解 P_• → M，丟掉 M，保留複形 P_•。
對每一項施函子 F（如 Hom(–, N) 或 – ⊗ N），得到新複形 F(P_•)。
取同調（或上同調）。第 n 個同調群即第 n 個左導出函子；對 Hom 得 Ext^n，對 ⊗ 得 Tor_n。

計算 ℤ/6 的 Tor 與 Ext

我們已有 M = ℤ/6 的分解 P_•: 0 → ℤ →(×6) ℤ → 0。設 N = ℤ/4。把 – ⊗ ℤ/4 施於 P_• 再取同調得 Tor；映射 ×6 在 ℤ/4 上變成 ×6，即模 4 的 ×2。

Resolve M = Z/6:        0 -> Z --x6--> Z -> 0
Tensor with N = Z/4 (Z (x) Z/4 = Z/4), map x6 becomes x6 = x2 on Z/4:

   complex:   0 -> Z/4 --x2--> Z/4 -> 0     (degrees 1, 0)

  Tor_1(Z/6, Z/4) = ker(x2 on Z/4) = {0,2} = Z/2
  Tor_0(Z/6, Z/4) = coker(x2)      = (Z/4)/(2Z/4) = Z/2   (= Z/6 (x) Z/4)
  Tor_n = 0 for n >= 2     (resolution has length 1)

Check: gcd(6,4)=2, and Tor_1(Z/m, Z/n) = Z/gcd(m,n), here Z/2.  Good.
Tor_1 detects COMMON TORSION -- it is the obstruction to flatness.

Now Hom(-, Z/4) applied to 0 -> Z --x6--> Z -> 0 (Hom(Z,Z/4)=Z/4),
x6 dualizes to x6 = x2 on Z/4 (Hom is contravariant, same map here):

   cocomplex: 0 -> Z/4 --x2--> Z/4 -> 0     (degrees 0, 1)

  Ext^0(Z/6, Z/4) = ker(x2) = Z/2   (= Hom(Z/6, Z/4))
  Ext^1(Z/6, Z/4) = coker(x2)= Z/2
  Ext^n = 0 for n >= 2.

Tor_1(ℤ/m, ℤ/n) = ℤ/gcd(m,n) 且 Ext^1(ℤ/m, ℤ/n) = ℤ/gcd(m,n)。同一分解，兩個函子，兩個不變量。

每個不變量的含義

Tor 度量平坦性的失敗：N 平坦當且僅當 Tor_1(–, N) 恆為零，而在 PID 上平坦 = 無撓。我們的 Tor_1(ℤ/6, ℤ/4) = ℤ/2 正是在素數 2 處的公共撓。Ext^1(C, A) 還有第二重身份：它把擴張 0 → A → E → C → 0 按等價分類，以可裂者為零元。Ext^1(ℤ/6, ℤ/4) = ℤ/2 意味著恰有兩個擴張類——可裂的 ℤ/4 ⊕ ℤ/6 與一個非裂的夥伴。