分解：用自由與內射部件逼近模

分解為何而設

模很複雜；自由模與投射模很簡單，因為從它們出發的映射易於掌控。模 M 的投射分解是一條正合列 ... → P_2 → P_1 → P_0 → M → 0，每個 P_i 都投射。把它讀作映滿 M 的複形 P_•（去掉 M），這是一個擬同構：P_• 的同調集中在第 0 度並等於 M，別處為零。我們已把 M 替換成了一個由優良部件構成的複形。

親手構造一個

取 R = ℤ 與 M = ℤ/6ℤ。讓自由模滿射到它：ℤ → ℤ/6ℤ，1 ↦ 1。核是 6ℤ，本身是秩一的自由模。於是再用一個自由模覆蓋核便完成——在PID 上自由模的每個子模都自由，故分解兩步即止。

Resolve M = Z/6Z over Z:

   0 -> Z --(x6)--> Z --pi--> Z/6Z -> 0
        P_1        P_0

Check exactness:
  - pi onto:           yes, pi(1) generates Z/6Z.
  - ker pi = 6Z:       pi(n)=0 iff 6 | n.
  - x6 image = 6Z:     matches ker pi exactly  -> exact at P_0.
  - x6 injective:      6n=0 => n=0            -> exact at P_1.

So a projective (= free) resolution is
   P_*:  ... 0 -> Z --x6--> Z -> 0   (degrees 1, 0)
with H_0(P_*) = Z/6Z and H_n = 0 for n>0.  Length 1: 'projective
dimension' of Z/6Z over Z is 1, the hallmark of a PID (gl.dim <= 1).

在 PID 上分解長度至多為 1。同一條 0 → ℤ →(×6) ℤ → ℤ/6 → 0 將在下一篇計算 Ext 與 Tor。

為何選擇無關緊要

你本可以用不同方式分解 ℤ/6——加襯墊、用更大的自由模——得到不同的複形。比較定理救了我們：同一個模的任意兩個投射分解都是鏈同倫等價的，從而擬同構。證明是一次巧妙的抬升，利用投射性逐步對著正合的目標填入映射。

給定 P_• → M 與 Q_• → M，把 M 上的恆等抬升為鏈映射 P_• → Q_•，借 P_n 的投射性逐度構造 f_n。
反方向再抬升恆等得 g_•: Q_• → P_•，同樣利用每個 Q_n 的投射性。
證明 g ∘ f 與恆等都抬升 M 上的恆等，故由同一引理「至多差一個同倫」的部分它們鏈同倫；f ∘ g 亦然。於是是同倫等價。

因為「先施函子再取同調」在鏈同倫下不變，我們從分解構造的每個不變量——Ext、Tor、導出函子——都與所選分解無關。這種無關性正是我們用最方便的分解去計算的許可證。